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Transkript Logarithmus – Rationale Exponenten (2)

Hallo! Hier kommt der 2. Teil dieser Sache hier mit den rationalen Exponenten. Das sind die Beispiele aus dem letztem Teil, bzw. aus dem Ersten, aus dem vorigem Teil meine ich. Was können wir noch machen? Wir haben Logarithmus zur Basis 9 von 27. Das ist gesucht und jetzt kannst Du mal so vorgehen, wie ich auch vorgehen würde, wenn ich diese Aufgabe zum ersten Mal sehen würde. Hier ist ja davon die Rede irgendwie von Wurzeln und so. Hier muss man immer die Wurzel aus der Basis ziehen. Ja, kann ich jetzt mit 9 auch mal machen. Ja, \sqrt9=3, die Quadratwurzel. Andere Wurzeln weiß ich jetzt nicht, sind irrationale Zahlen, kann ich jetzt nicht so im Kopf rechnen. Hm, also 3 ist auf jeden Fall nicht 27. Aber vielleicht, da ja hier die 27 größer ist als 9, könnte man ja mal probieren, 9 einfach mal so zu potenzieren. Zum Beispiel mit 2. Also 9²=81, aber 81 ist schon wieder zu groß. 91 ist übrigens 9, 9²=81. 27 liegt zwischen 9 und 81. Das heißt, es wird also eine Zahl zwischen 1 und 2 sein, mit der wir 9 potenzieren müssen, um 27 herauszubekommen. Was Du jetzt machen kannst, da Du ja weißt, dass die Wurzel von 9, 3 ist und Dir ja auch direkt auffällt, da Du ja jetzt schon öfter mit Logarithmen gerechnet hast, dass 3³=27 ist. Könntest Du also zunächst die Wurzel aus 9 ziehen, was also bedeuten würde, 9^½, und das dann mit 3 potenzieren. Dann wäre also der Logarithmus zur Basis 9 von 27=3/2. Ja, ich mache das noch mal vor. Die 9, also aus der 9 wird erst die Wurzel gezogen. Bzw. wir rechnen 9^½. 9^½=3. 3³=27. Ja, hier kommt ein Semikolon hin, eigentlich könnte ich hier dent schreiben. Jetzt habe ich keinen Platz mehr, macht nichts. Du kennst die Potenzgesetze, Du darfst das hier zusammenfassen, also diese beiden müssen multipliziert werden, die beiden Exponenten. Das bedeutet also (9^½)³ ist einfach 93/2 und das ist gleich 27. Ja, und diese Methode, dass man zunächst mal auf die Wurzel oder auf eine Wurzel der Basis zurückschließt, ja das ist durchaus üblich und das möchte ich an einem weiterem Beispiel noch zeigen. Und zwar haben wir den Logarithmus zur Basis 1000 von 107. Ja, hier mache ich wieder Klammern drum, dann ist das vielleicht besser erkennbar. Logarithmus zur Basis 1000 von 107. Wenn wir jetzt 1000 potenzieren, 1000×1000=1000000. Du weißt, dass 1000000=106 ist. Also, das ist zu wenig. 1000×1000×1000=109, das ist also 1 Milliarde. Hm, das ist auch nichts. Aber wir könnten ja zum Beispiel die 3. Wurzel aus 1000 ziehen, dann sind wir bei 10. 3. Wurzel aus 1000 ist 10. 10, ja wie oft muss ich 10 potenzieren, um 107 zu bekommen? 7 Mal. Also 7 Mal mit sich selbst multiplizieren. Und ich schreibe auch noch eben schnell hier die Begründung hin, denn ihr könnt das auch mit dem Wurzelzeichen schreiben hier, die 3. Wurzel aus 1000 ist ja gleich 10. 3. Wurzel aus 1000 und das soll jetzt potenziert werden mit 7. Dann kriegt man natürlich 107, wenn hier die 3. Wurzel aus 1000, 10 ist. Das heißt also, 107 steht dann hier und das ist 107/3. Das ist Quatsch. Das ist falsch, denn ich wollte schreiben.. Jetzt passt das nicht mehr hin, was ein Mist.. Also, ich nehme einfach eine neue Folie, denn es geht hier weiter. So, ja, 107. Wir haben (10001/3). Das ist ja die 3. Wurzel und das müssen wir jetzt mit 7 potenzieren. So, jetzt ist es richtig. Die 3. Wurzel aus 1000, also (10001/3)7 und nach den Potenzrechengesetzen weißt Du, dass (10001/3)7=10007/3 ist, denn wenn 2-mal potenziert wird, also ein Mal potenziert und diese Potenz wird noch mal potenziert, dann multiplizieren sich die Exponenten und 1/3×7 sind 7/3 und dann ist das hier auch richtig. 10007/3=107 und deshalb ist der Logarithmus zur Basis 1000 von 107=7/3. Ja, das war es dazu, bis dann. Tschüss.

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