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Transkript Logarithmus – Negative Exponenten

Hallo! Es geht weiter um Logarithmen und ich möchte mal die negativen Exponenten ins Spiel bringen. Es gibt negative Exponenten. Du erinnerst Dich vielleicht an folgende Definitionen a^-n, das ist gleich, das ist nicht etwa -an oder so was, sondern es ist 1÷an. Okay, das hast Du Mal gemacht und jetzt kannst Du Dich gerne wieder daran erinnern, dass es diese Definition gibt und mit Logarithmen hat das Folgendes zu tun: Wir können zum Beispiel rechnen 2^-1=½. Ja, oder ich könnte natürlich jetzt ganz streng nach Definition schreiben 2^-1=1÷21. Aber Du weißt, dass ich ja das 21=2 ist. Da das hier also nun der Fall ist, 2^-1=½, könnte man jetzt auch die Frage stellen, mit welcher Zahl muss man denn 2 potenzieren, um ½ zu erhalten. Und diese Frage stellt ja der Logarithmus. Das heißt, wir haben also hier den Logarithmus zur Basis 2 von ½. Ja, vielleicht kann man hier eine Klammer drum setzen, dann ist es vielleicht etwas schöner zu lesen oder so, weiß ich auch nicht. Also hier der Logarithmus zur Basis 2 von ½ ist gleich -1, denn man muss 2 mit -1 potenzieren, damit ½ herauskommt. Und meiner Erfahrung nach, ist das für viele Leute ein bisschen ungewöhnlich, weil sie immer wieder sagen, also wenn ich etwas potenziere, dann wird das doch größer, dann wird das doch nicht kleiner. Übrigens, ½ kann ich auch schreiben als 0,5, nur der Vollständigkeitshalber sei es hier angegeben. Dann steht da also Logarithmus zur Basis 2 von 0,5, das ist das gleich. ½ ist ja 0,5. Ja, also wenn man etwas potenziert, wird es nicht unbedingt größer, nämlich dann, wenn man zum Beispiel mit negativen Zahlen potenziert, dann muss das nicht größer werden. Wie man hier sieht, 2^-1 ist eben kleiner als 2. Das Ergebnis ist ½. Dann kann man sich noch Folgendes vorstellen: Zum Beispiel haben wir 3^-2. 3^-2 bedeutet 1÷3² und 3²=9, also kommt da 1/9 raus. 3^-2=1/9. Mit welcher Zahl muss man jetzt 3 potenzieren, damit 1/9 rauskommt? Es ist -2. Deshalb kann ich hier also schreiben: Der Logarithmus zur Basis 3 von 1/9 ist gleich -2. Ja, ganz normal, kein Problem. Auch 1/9<3, aber wenn man 3 mit -2 potenziert, kommt 1/9 raus, daher der Logarithmus von 1/9 zur Basis 3=-2. So, eine kleine Sache möchte ich noch zeigen. Der Logarithmus zur Basis 10 von 0,01.Was könnte das sein? Also, die Sachen, die ich hier vormache, zum Beispiel, die sind ja quasi in der umgekehrten Richtung, wie Du Aufgaben gestellt bekommst. Steht ja das hier, oder das steht da, Logarithmus zur Basis 2 von ½ und Du musst  jetzt drauf kommen, dass es -1 ist. Aber, wenn Du jetzt, sag ich mal keine weiteren Möglichkeiten hast und das so im Kopf machen sollst, kannst Du Dir halt überlegen, ich nehme mir die 2, potenziere die mit irgendwelchen Zahlen, mal gucken was passiert und dann schließe ich darauf, dann komme ich irgendwann drauf, dass ich also 2 mit -1 potenzieren muss, damit ½ rauskommt. Hier möchte ich jetzt mal diese Richtung auch zeigen. Also Logarithmus zur Basis 10 von 0,01, da frage ich als Erstes, wie kann ich denn 10 potenzieren, was käme denn da so raus? Also 101=10, 10²=100, 10³=1000. Also, ich kann jetzt die Zahlen weiter durchgehen, weiter nach oben und das, was als Potenz rauskommt, wird immer größer, ich muss aber etwas haben, was um einiges kleiner als 10 ist, nämlich 0,01. Ja, könnte ich ja mal anfangen, mit negativen Zahlen zu potenzieren. 10^-1 zum Beispiel, das bedeutet 1÷10 oder 1÷101, aber 101=10, deshalb 1÷10=10^-1. Das reicht aber nicht, das ist 1/10. Was hier steht, ist ja 1/1000, nicht? Die 2. Nachkommastelle ist ja die Hundertstelstelle, hier steht ja 1/100, mit welcher Zahl muss ich 10 potenzieren, damit 1/100 rauskommt? Und, wenn ich mir das jetzt schon vorstelle, 10^-1 habe ich gesagt, das ist 1/10, naja 10^-2=1÷102=1÷100=1/100, also kommt hier -2 raus. Und schreibe die Begründung auch gleich hin, denn 10^-2=1÷10². 10²=1/100 und damit ist das gleich 0,01. Ja, und damit brauchst Du also auch keine Angst haben, wenn da irgendwelche kleinen Zahlen stehen und als Numerus und eine große Basis da steht, das ist kein Problem. Nimm einfach negative Exponenten, dann kommt beim Logarithmus eben was Negatives raus. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

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3 Kommentare
  1. Spellbookofjudgment

    gut^^

    Von Bilal Baroud, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    ich denke in der Übungsaufgabe ist die Klammer falsch gesetzt müsste log(5)0,2 sein...

    Von Jannick M., vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Wie rechne ich zum Beispiel log5(0,2) mit dem Taschenrechner (Casio fx-9860GII)? Ich komme nicht darauf.

    Von Deleted User 33672, vor mehr als 4 Jahren