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Transkript Logarithmen – Rechenregeln

Hallo! Hier ist wieder der Thomas und im letzten Video unserer Logarithmus-Trilogie haben wir gesehen, was ein Logarithmus überhaupt ist. Bisher haben wir es aber nur mit einfachen Beispielen zu tun gehabt. Vor dem Rechnen von komplexeren Aufgaben möchte ich euch aber zunächst einmal mit den wichtigsten Rechenregeln vertraut machen. Die 1. Regel: Wenn der Numerus des Logarithmus 1 ist, dann kann die Basis beliebig sein, das Ergebnis ist immer 0. Regeln Nr. 2: Wenn Basis und Numerus des Logarithmus gleich sind, so ist das Ergebnis immer 1. Der Mathematiker würde wahrscheinlich bei diesen beiden Regeln sagen: "Das ist ja trivial." Aber ich habe sie der Vollständigkeit halber trotzdem hier noch einmal mit aufgelistet. Interessanter ist da schon die 3. Regel: Haben wir einen Logarithmus mit einer Multiplikation im Numerus, so lässt sich dieser Äquivalent in einer Addition von Logarithmen mit den Faktoren im Numerus ausdrücken. Wichtig hierbei ist dieselbe Basis bei allen verwendeten Logarithmen. Dazu ein kurzes Beispiel: Nehmen wir einmal an, wir haben log2(4×8). Unter der Verwendung der soeben genannten Regel können wir den Ausdruck auch als log2(4)+log2(8) hinschreiben. Jetzt überprüfen wir das Ganze aber noch einmal: Wenn wir das Produkt der Multiplikation errechnen, ergibt sich 32. Die rechte Seite können wir gleich direkt ausrechnen: log2(4)=2 und log2(8)=3. Abschließend vergleichen wir die Ergebnisse der beiden Seiten: log2(32)=5 und 2+3=5, das heißt, wir haben auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe stehen.   Die nächste Regel behandelt den Fall einer Division im Numerus eines Logarithmus. Eine äquivalente Form dieses Logarithmus wäre die Differenz von 2 Logarithmen mit Divisor und Dividend im Numerus. Auch hier gilt es, wieder zu beachten, dass alle Logarithmen diesselbe Basis haben. Betrachten wir beispielsweise log2(64/16). Diesen könnten wir also äquivalent umformen in die Differenz log2(64)-log2(16). Das noch schnell ausgerechnet und wir sehen, dass am Ende tatsächlich auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe steht.   Kommen wir nun zur nächsten Regel, der Verwendung einer Potenz im Numerus eines Logarithmus. Eine äquivalente Darstellung wäre das Herausziehen des Exponenten aus dem Logarithmus, um ihn als Faktor davorzustellen. Schauen wir uns das Ganze in einem Beispiel an: Wir haben log3(92). Nach der eben genannten Regel können wir diesen auch als 2×log3(9) darstellen. Und wenn wir das dann ausrechnen, ergibt sich wiederum auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe.   Die nächste Regel haben wir uns schon ganz am Anfang des Videos durch eine Umformung hergeleitet. An dieser Stelle möchte ich die Regel aber noch einmal anhand eines Beispiels verdeutlichen. Nehmen wir an, wir haben die Gleichung 2log2(8)=8. Im Numerus des Logarithmus und auf der rechten Seite der Gleichung steht also dieselbe Zahl. Und wenn wir das dann ausrechnen, sehen wir, dass es sich hierbei um eine wahre Aussage handelt, die Gleichung also erfüllt ist.   Kommen wir nun zur letzten Regel. Sie besagt, dass man einen Logarithmus auch als Division zweier Logarithmen zu einer beliebigen Basis ausdrücken kann. Hierbei befindet sich der Numerus des Logarithmus im Numerus des Dividenden und die Basis des Logarithmus im Numerus des Divisors. Interessant ist jetzt, dass wir für die Basis der Logarithmen im Zähler und im Nenner eine beliebige Zahl einsetzen können. So könnten wir z. B. die eulersche Zahl einsetzen und hätten somit den Logarithmus Naturalis. Wenn man jetzt an einen beliebigen Taschenrechner denkt, so ist es ziemlich wahrscheinlich, dass es dort auch eine Taste zur Berechnung des Logarithmus Naturalis gibt. Diese Regel verschafft euch also eine sehr einfache Möglichkeit, um einen beliebigen Logarithmus mithilfe eures Taschenrechners zu berechnen. Auch hierzu ein Beispiel: log2(16) können wir laut Rechenregel auch als als Division zweier Logarithmen zur Basis e ausdrücken: log e(16)/log e(2)=ln(16)/ln(2). Den Logarithmus zur Basis e ersetzen wir jetzt durch die kürzere Schreibweise ln und können diesen Ausdruck jetzt direkt in den Taschenrechner eingeben.   Zum Abschluss noch ein komplexes Beispiel. Hier könnt ihr nun endlich das neu erlernte Wissen über Logarithmen anwenden. Wir versuchen, ln((3\sqrt(a)×e4)/(5\sqrt(b7)×3\sqrt(e2)) mithilfe der neu erlernten Rechenregeln für Logarithmen zu vereinfachen. Das e soll hierbei aber nicht für eine normale Variable stehen, sondern für die eulersche Zahl. Am Besten, ihr versucht es erst einmal alleine und pausiert dafür das Video. Nachdem ihr jetzt sicherlich ohne Probleme auf eine Lösung gekommen seid, möchte ich euch dennoch eine Vergleichsmöglichkeit geben. Als 1. Schritt lösen wir die Division innerhalb des Logarithmus auf und erhalten dafür eine Differenz zweier Logarithmen. Im nächsten Schritt wenden wir die 3. Regel auf beide Teilterme an, indem wir die Multiplikation im Numerus der beiden Logarithmen durch eine Addition der Faktoren ersetzen. Vor dem nächsten Schritt ist es sinnvoll, zunächst einmal die Wurzeln in einigen Termen mithilfe der Potenzgesetze in Exponenten umzuwandeln. Nachdem wir das gemacht haben, wird schon deutlicher, was als nächstes folgt: die Anwendung der 5. Regel. Wir ziehen also aus allen Logarithmen die Exponenten heraus und ziehen sie als Faktoren vor den jeweiligen Logarithmus. An dieser Stelle können wir den Ausdruck entscheidend vereinfachen, indem wir erkennen, dass ln(e)=1. Noch einmal kurz zur Erinnerung: ln(e) ist eigentlich log e(e). Und laut der 2. Regel ergeben alle Logarithmen, deren Basis und Numerus gleich sind, 1. Wenn wir nach dieser Vereinfachung den Ausdruck betrachten, dann können wir noch die 4 und -2/3 zusammenfassen und erhalten am Ende das maximal vereinfachte Ergebnis: 1/3ln(a)-7/5ln(b)+10/3.   So und das war es mit den Rechenregeln der Logarithmen. Wir haben zusammen ein komplexes Beispiel durchgerechnet und ihr solltet jetzt auch in der Lage sein, weitere Aufgabentypen dieser Art zu rechnen.    

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7 Kommentare
  1. Default

    hast du da einen flüchtigkeitsfehler drin? bei der letzen beispielaufgabe in der du die Multiplikation bei den logarithmen auflöst, schreibst du das ergebnis später nochmal neu auf und machst dann doch aus einem ganz am ende aus dem + ein -, sodass am ende nicht 10/3 sondern 14/3 herauskommen müsste.

    Von Charlotte U., vor mehr als einem Jahr
  2. Neu1 small

    Danke! Super Video! :)

    Von Thomas S., vor etwa 2 Jahren
  3. Wp 000233

    Vielen Dank für dein hohes Niveau, Maxplantsch, aber erwarte nicht im Ernst, dass ich am Anfang der Aufgabe schon alleine da drauf gekommen wäre (ohne dass ich das schon geübt habe vorher). Nix für ungut.

    Von Juliane Viola D., vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Sehr gutes Video! Vorallem das man selber rechnen kann finde ich sehr gut.

    Von Stefan Sager, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    Hallo Thomas,
    erst einmal danke für das gute Video, es hat mir sehr gut geholfen. Allerdings habe ich bei 1:14 ein Wort nicht verstanden, akustisch:
    "Haben wir einen Logarithmus mit einer Multiplikation im Numerus, so lässt sich dieser äquivalent in eine Addition von Logarithmen mit den ....? im Numerus ausdrücken.

    Kannst du mir das bitte einmal kurz sagen, ob du da Faktor oder ein anderes Wort gesagt hast, da ich mir deine 3 Videos mal mitgeschrieben habe.

    Danke und für das Neue Jahr noch alles Gute!
    Murks

    Von Murks, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    zu kompliziert und zu schnell!

    Von Lizzy16, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Super !!

    Von Kim Bo, vor mehr als 4 Jahren
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