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Transkript Logarithmen – Beispiele

Hallo! Herzlich willkommen zum letzten Teil meiner Logarithmustrilogie. Ihr werdet in diesem Video das zuvor Gelernte anhand von komplexen Übungsaufgaben vertiefen können. Bevor wir jedoch anfangen, stelle ich eine kleine Herausforderung. Versucht jede Aufgabe zunächst einmal alleine zu lösen. Glaubt mir, somit könnt ihr mit dem Lösungsweg viel mehr anfangen. Frei nach dem Motto: Learning by Doing. In der 1. Beispielgruppe werden nur Zahlen verwendet, damit am Ende etwas Greifbares herauskommt. Allerdings gilt eine Einschränkung: Das Ergebnis soll nur mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen bestimmt werden. Taschenrechner sind also tabu. Hier nun die 1. Aufgabe: Was ist das Ergebnis von log2(8)+log5(\sqrt(125))? Na dann mal los. Herzlich willkommen zurück. Ist euer Ergebnis 9/2 bzw. 4,5? Das ist richtig! Wenn ihr etwas anderes heraushabt, dann schaut euch den folgenden Lösungsweg einmal ganz genau an. Im 1. Schritt verwenden wir die Potenzgesetze und machen aus der 8 den Term 23 sowie aus \sqrt(125) den Term 125^½. Aber was bringt uns das? Nun ja, im Numerus der beiden Logarithmen steht nun jeweils eine Potenz. Wir erinnern uns an eine der Rechenregeln von Logarithmen, die besagt, dass man den Exponenten vor den Logarithmus als Faktor ziehen kann. Und genau das tun wir für beide Logarithmen. Fahren wir fort. Die 125 im Numerus des 2. Logarithmus kann man auch als 53 ausdrücken. Wenn wir nun noch einmal dieselbe Regel anwenden, erhalten wir den Ausdruck 3×log2(2)+3/2×log5(5). In beiden Logarithmen sind also Numerus und Basis gleich. Für diesen Fall gab es auch eine Rechenregel, die besagt: Wenn Numerus und Basis des Logarithmus gleich sind, dann ist das Ergebnis in jedem Fall 1. Nach Anwendung dieser Regel ist der Ausdruck so weit vereinfacht, dass wir ihn auch im Kopf ausrechnen können. Es ergibt sich 9/2 bzw. 4,5. Jetzt noch ein etwas schwierigerer Term. Auch diesen gilt es, wieder nur mithilfe der Logarithmengesetze und ohne Hilfe des Taschenrechners zu lösen. Viel Erfolg! Kurz und knapp: Das Ergebnis ist 13/3. Die Rechenschritte sind wie folgt: Zuerst wenden wir wieder einmal die Potenzgesetze an mit dem Ziel, im Numerus des Logarithmus etwas Ähnliches stehen zu haben wie in der Basis. Damit können wir später den Logarithmus stark vereinfachen. Im nächsten Schritt ziehen wir die Potenz aus dem Numerus der Logarithmen als Faktor davor. Jetzt haben wir in der Basis der Logarithmen dasselbe stehen wie im Numerus. Damit sind diese Logarithmen äquivalent zu 1, und wir können sie in der Gleichung damit ersetzen. Nachdem wir alle Logarithmen in der Gleichung ersetzen konnten, müssen im letzten Schritt die Teilterme nur noch addiert werden, und wir erhalten das Ergebnis 13/3. In den letzten beiden Aufgaben habt ihr mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen einen Term so weit vereinfachen können, dass sich im Ergebnis alles auf eine Kopfrechenaufgabe reduziert hat. In der nun folgenden Beispielgruppe wollen wir einen größeren Term mit mehreren Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen. Das heißt, ihr müsst die Rechenregeln diesmal rückwärts anwenden. Hier nun die 1. Aufgabe: Fasst den folgenden Term zu einem Logarithmus zusammen. Ich wünsche euch viel Erfolg! Diesmal ist es etwas schwieriger, das Ergebnis direkt anzusagen, also lege ich jetzt einfach mal los. Als 1. Schritt bietet es sich an, mithilfe der passenden Rechenregel die Faktoren der Logarithmen in den Numerus als Exponenten hineinzuziehen. Achtet besonders bei den negativen Faktoren auf die entsprechenden Potenzgesetze. Jetzt haben alle Logarithmen die folgenden Eigenschaften: Sie haben keine Faktoren, sie haben alle dieselbe Basis, und sie sind alle mit einer Addition verbunden. Wir können also die nächste Rechenregel anwenden und verwandeln die Addition in ein Produkt. Dazu nehmen wir den Numerus eines jeden Logarithmus und stecken ihn als Multiplikand in den Numerus eines gemeinsamen Logarithmus. Als Ergebnis haben wir einen recht komplexen Ausdruck, der sich aber noch ein wenig vereinfachen lässt. Betrachten wir den Term (a+b)2 oberhalb des Bruchstrichs und a2-b2 unterhalb des Bruchstrichs, dann könnte man vermuten, diese haben etwas gemeinsam. Und tatsächlich: Löst man den 2. Term, also a2-b2, nach der 3. binomischen Formel auf, so erkennt man, dass beide den Faktor a+b innehaben. Diesen können wir bei beiden wegstreichen und erhalten im Endergebnis: log(((a+b)×\sqrt(c))/((a-b)×a4)). Für die 2. und letzte Aufgabe gibt es einen etwas knackigen Term, der aber durch die konsequente Anwendung des bereits Gelernten durchaus lösbar ist. Er ist wie folgt. Auch an dieser Stelle möchte ich euch wieder bitten, die Aufgabe zuerst einmal alleine zu probieren. Viel Erfolg wünsche ich! Habt ihr es bis zur Lösung durchgehalten? Wenn nicht, ist es auch nicht so schlimm. Hier nun alles Schritt für Schritt: Zunächst ziehen wir, wie schon in der Aufgabe zuvor, die Faktoren der Logarithmen in den Numerus des jeweiligen Logarithmus als Exponenten. An dieser Stelle wird es aber ein wenig tricky, da teilweise schon Exponenten vorhanden sind und diese später mit den neuen mithilfe der Potenzgesetze verrechnet werden müssen. Eine kurze Erläuterung zum letzten Term: Aus \sqrt(a) ist a^½ geworden, und die -3 vor dem Logarithmus wurde als Exponent in den Numerus mit hineingezogen. Da wir nun eine Summe von Logarithmen mit derselben Basis vorliegen haben, kann diese wieder in einem Logarithmus zusammengefasst werden. Im resultierenden Logarithmus können wir noch a2 mit a3/2 wegkürzen und erhalten nach Umformung in die Wurzelschreibweise das Endergebnis: log(6\sqrt(b)×\sqrt(a)). So, nun sind wir am Ende dieses Videos angelangt. Ich hoffe, es hat euch Spaß gemacht und ihr seid nun um einiges sicherer, wenn es um das Rechnen mit Logarithmen geht. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, und vielleicht sieht man sich ja in einem anderen Video wieder. Tschüss!

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9 Kommentare
  1. Default

    >Nur zur Info, z.b. die Wurzel aus 2 kann man wie 2 hoch 1/2 schreiben, wobei der nenner die höche der Wurzel zeigt (hier: Quadratwurzel) und die eins die Höchzahl des Nummerus.

    Zb. Dritte Wurzel aus Neun = 3 Hoch 2/3

    deshalb heißt es 27 hoch1/3

    Von Richard Kandlin, vor fast 2 Jahren
  2. Wp 000233

    Zu der Rechnung mit log 27 (3):

    3 ist dasselbe wie die 3.Wurzel von 27 ist dasselbe wie 27 hoch 1/3

    (weil 3 hoch 3 gleich 27 ist).

    Also kann man statt log 27 (3) auch log 27 (27 hoch 1/3) schreiben.

    Von Juliane Viola D., vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Hallo Thomas,
    Sehr gut erklärt! Es hat mir sehr spass gemacht.
    Danke.

    Von Mastermind, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    Vielen dank :) Es ist sehr gut gelungen.

    Von Black Brush, vor mehr als 4 Jahren
  5. Yaninaundhannathedome%20009

    Ja das hab ich mich grad auch gefragt? :S

    Von Mathefrosch, vor fast 5 Jahren
  1. Yaninaundhannathedome%20009

    Ja das hab ich mich grad auch gefragt? :S

    Von Mathefrosch, vor fast 5 Jahren
  2. Default

    sollte lg27(27^1/3) nicht lg27(9^1/3) sein??

    Von Skillgeek, vor fast 6 Jahren
  3. Cimg5340

    Super. Alles verstanden.

    Von Isapisa, vor etwa 6 Jahren
  4. Default

    tolles Video!

    Von Michael.Reiter, vor mehr als 6 Jahren
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