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Transkript Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen

Hallo! In diesem Video geht´s um quadratische Gleichungen, und zwar wollen wir klären, was die Diskriminante ist, wie man die Anzahl der Lösungen herausbekommt und dann rechnen wir noch eine Aufgabe mit Parameter. Das ist unsere allgemeine Gleichung und das ist unsere Lösungsformel. Und wir wollen jetzt mal wissen, woran man eigentlich sieht, wie viele Lösung die Gleichung nun eigentlich hat. Dazu nehmen wir mal diese Gleichung hier als Beispiel, da können wir gleich noch mal üben, wie man die Formel anwendet. Da haben wir also x1,2=, das p ist die Zahl vor dem x, also -10, davon nehmen wir die Hälfte, aber mit dem anderen Vorzeichen, also 5, und dann ±\sqrt, dann die Hälfte von p zum Quadrat, also (-5)²-q, und q=21. Das ist dann also: 5±\sqrt(25-21), also steht unter der Wurzel eine 4, also haben wir 5±2. Dann ist also x1=3 und x2=7. Ich schreibe immer die Lösung mit dem Minus zuerst, also die Kleinere. Diese Gleichung hat also offensichtlich 2 Lösungen, und das liegt daran, dass der Term hier unter der Wurzel echt größer als 0 ist. Und diese Zahl, die da unter der Wurzel steht, heißt Diskriminante der Gleichung. Also allgemein ist die Diskriminante (p/2)2-q, und speziell bei dieser Gleichung wär´s zum Beispiel 4. Wir halten also fest: Ist die Diskriminante (p/2)2-q>0, so hat die quadratische Gleichung x2+px+q=0 zwei Lösungen. So, jetzt schauen wir uns mal die Gleichung x2+3x+9/4=0 an. Wir starten wieder x1,2=, diesmal ist p +3, also schreib ich hier -(3/2)±\sqrt, so, und jetzt könnt ihr euch als kleinen Hinweis merken, ihr nehmt einfach die Zahl, die ihr vorne rausbekommen habt, zum Quadrat. Das ist zwar nicht (p/2)2 dann, sondern -(p/2)2, aber die Zahl, die rauskommt ist ja die Gleiche. Also einfach die Zahl, die vor dem ± steht, quadrieren und vorne in die Wurzel schreiben. Das ist hier 9/4, und dann -q, und q ist auch 9/4. Da haben wir also -(3/2)±\sqrt0, und das ist einfach -(3/2). Also haben wir in diesem Fall genau 1 Lösung, nämlich -(3/2). Und das liegt daran, dass der Term unter der Wurzel, also die Diskriminante, gleich 0 ist, denn dann ergibt sich ja ±0. Ist also die Diskriminante (p/2)2-q=0, so hat die quadratische Gleichung x2+px+q=0 genau die 1 Lösung x=-(p/2). Unser nächstes Beispiel ist x2-4x+9=0. Wir starten natürlich mit x1,2=, p=-4, dann ist also die Hälfte mit dem anderen Vorzeichen 2, ±\sqrt, dann wird die 2 quadriert, das ergibt 4, und dann noch -9. Das ist also 2±\sqrt-5. Tja, und da das natürlich nicht definiert ist, gibt es in diesem Fall keine Lösung. Zumindest nicht in den Zahlbereichen, die wir kennen. In diesem Fall sehen wir, dass die Diskriminante echt kleiner ist als 0, und dann gibt es eben keine Lösung. Ist also die Diskriminante (p/2)2-q<0, so hat die quadratische Gleichung x2+px+q=0 keine Lösung. Jetzt möchte ich was zur Produktform einer quadratischen Gleichung sagen. Eine Produktform sieht zum Beispiel so aus. In diesem Fall braucht man die Gleichung nicht noch in die Normalform umzuformen, denn man kann sofort ablesen, für welche x-Werte die Gleichung gleich 0 ist. Das Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, und der 1. Faktor wird eben 0, wenn x=3 ist, und der 2. wird 0, wenn x=-5 ist. In dieser Darstellung kriegt man die Lösungen also quasi geschenkt. Ok, und zum Schluss rechnen wir noch eine Aufgabe mit Parameter. x2-Tx+3+T=0 Wir haben also hier den Parameter T in der Gleichung, und die Frage ist, für welche Werte von T gibt es genau 1 Lösung für x. Also, wir haben ja gesehen, dass es unterschiedlich viele Lösungen geben kann, und dass das von p und q abhängt, und da p und q hier beide von dem Parameter T abhängen, kann man also in Abhängigkeit von T rausfinden, wann es genau 1 Lösung für x gibt. Am besten fängt man einfach an, loszurechnen. Vor dem x steht -T, davon nehm ich die Hälfte mit dem anderen Vorzeichen, also (1/2)T±\sqrt, jetzt nehm ich das hier vorne zum Quadrat, also ((1/4)T)2, und dann -q, also minus diese Summe hier. Und jetzt wissen wir, es gibt genau dann 1 Lösung für x, wenn die Diskriminante gleich 0 ist. Wenn also dieser Term, der unter der Wurzel steht, gleich 0 ist. Wenn die Wurzel dann wirklich 0 ist, dann wäre die eine Lösung für x vorne, (1/2)T. Und um rauszufinden, wann die Wurzel 0 ist, müssen wir diese quadratische Gleichung in T lösen. Da lösen wir erst mal die Minusklammer auf. Dann haben wir also -T-3, und dann müssen wir noch mit 4 multiplizieren, dann kriegen wir T2-4T-12=0. Ok, jetzt wenden wir die pq-Formel für T an. Minus die Hälfte von -4 ist 2, ±\sqrt, 22=4, -(-12), das ist +12, und 4+12=16, \sqrt16=4. Das heißt, T1=-1 und T2=6. Für diese Werte von T wird also die Diskriminante gleich 0, hat also x nur 1 Lösung. Und was ist die Lösung jeweils? Wenn T=-2, dann sehen wir aus der Formel links, dass die Lösung x=-1, und für T=6 haben wir x=3. Aber eigentlich wollten wir ja nur die Werte von T wissen, und das sind diese beiden. Ok, jetzt haben wir so oft die pq-Formel angewandt, ich denke, die kennt ihr jetzt im Schlaf, und dann war´s das erst mal zur quadratischen Gleichung. Bis bald.

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20 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Enver,

    man muss das so sagen, um auszudrücken, dass die Diskriminante nicht 0 und nicht negativ sein soll. Also ECHT größer 0 (im Gegensatz zu "größer oder gleich 0").

    Nochmal deutlich:
    "x ist größer oder gleich 0" heißt: x kann 0 sein oder 0,1 oder 1 oder 22, das schreibt man so: x ≥ 0.

    "x ist echt größer 0" heißt: x kann 10 sein oder 1 oder 0,00001 usw. nur nicht 0 selber (und natürlich nicht negativ), das schreibt man so: x > 0.

    Viele Grüße

    Von Steve Taube, vor 7 Monaten
  2. Default

    warum ist sie ECHT kleiner/größer als null, kann die Diskrimminante unecht kleiner/größer als null sein :D ? Oder muss man das so sagen?

    Von Enver, vor 7 Monaten
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    Hallo Fardin.

    In der Formel steht unter der Wurzel "-q". Dabei ist das q die Zahl, die alleine (also ohne x) hinten in der Gleichung steht, also in dem Beispiel x² - 10x + 21 steht die Zahl +21 alleine (ohne x). Da in der Formel "-q" steht, muss man die Zahl dort einsetzen, allerdings mit dem umgekehrten Vorzeichen, d.h. in diesem Fall "-21".

    Weiteres Beispiel:
    Wenn die Gleichung lautet: x² + 6x - 13 = 0
    Dann ist "-q" = +13 (Vorzeichen umgedreht), d.h. die Lösungsformel sieht dann so aus:
    x1,2 = -3 +/- Wurzel[(3)² + 13]

    Viel Erfolg noch! Steve

    Von Steve Taube, vor 9 Monaten
  4. Default

    wie +21 ist -21 geworden? bitte erklären Sie mir. Danke

    Von Fardin 2007, vor 9 Monaten
  5. Default

    es ist ein verständliches Video, aber auch iwi viel zu schnell. Man kommt nur mit wenn man so halb fit im Thema ist aber wenn sich einer das Video anschauen würde, wo kein plan davon hat, müsste er sich das Video erst 1 bis 2 mal anschauen bis er es geblickt hat :) also nächstes mal vielleicht etwas langsamer und viiiiel ausführlicher bitte. Dankeschön.

    Von H J Woerner, vor 10 Monaten
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo C. Durgut,

    vorne bei T²: 1/4 * 4 = 1,
    dann bei T: -1 * 4 = -4,
    hinten: -3 * 4 = -12

    Ich glaube, du bist nur im Term verrutscht.
    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    6:25 wieso -4? 0.25 * 4 = 1 oder nicht?

    Von C Durgut, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    hallo bei etwa 0:40 .. wie kommt man drauf, dass -10 von oben unten 5 ist??
    danke

    Von Llancakeller, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Danke ich habe nun das mit der Diskriminante besser verstanden.
    MFG Luca

    Von Lucax, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Dank diesem Video hab ich es verstanden!

    Von Prinzhaken6 1, vor fast 3 Jahren
  6. Default

    Dank diesem Video hab ich es verstanden!

    Von Prinzhaken6 1, vor fast 3 Jahren
  7. Default

    Dank diesem Video hab ich es verstanden!

    Von Prinzhaken6 1, vor fast 3 Jahren
  8. Default

    Dank diesem Video hab ich es verstanden!

    Von Prinzhaken6 1, vor fast 3 Jahren
  9. Default

    Woher soll ich wissen wie oft und wann ich die P Q Formel benutzen soll

    Von Joy, vor mehr als 3 Jahren
  10. Default

    Wie kommt du bei 05:45 auf 1/4 T hoch 2 ? Musste da nicht 1/2 T hoch 2 stehen ?

    Von Joy, vor mehr als 3 Jahren
  11. Bewerbungsfoto

    Ich danke fürs Lob!

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  12. Default

    ...besser gehts es nicht. Innerhalb weniger Minuten das gelernte Mathewissen von vor 35 Jahren wieder aktiviert. Danke

    Von Kreiters, vor mehr als 3 Jahren
  13. Bewerbungsfoto

    Hallo Leonie,

    in dem Beispiel ist p = -10 (du nimmst die Zahl vor dem x und musst dabei das Rechenzeichen mit übernehmen). Dann ist also -p/2 = -(-10)/2 = -(-5) = 5 und das ist positiv. Und (p/2)^2 = (-10/2)^2 = (-5)^2 = 25 und das ist positiv (nicht negativ!!!).

    Du musst also nur beim Einsetzen in die Formel darauf achten, ob p positiv oder negativ ist. Danach rechnest du die Terme aus und dann kann -p/2 positiv oder negativ werden. Beides ist möglich. [Zur Erklärung: -p/2 bedeutet ja nicht, dass dieser Term immer negativ sein muss. Setzt man z.B. für p die Zahl -10 ein, dann wird der Term -p/2 positiv.] (p/2)^2 ist aber IMMER positiv, weil ja am Ende quadriert wird.

    Ich hoffe, ich konnte helfen. Steve.

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  14. Default

    warum ist p/2 (im Beispiel 5)positiv und (p/2)^2 negativ???? 0:55

    Von Leonie1998, vor fast 4 Jahren
  15. Blue hills

    ...

    Von H. B., vor mehr als 6 Jahren
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