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Transkript Lösen von Wurzelgleichungen – Vierschrittvefahren

Hallo, ich bin der Ralf und in diesem Video erkläre ich euch das Lösen von Wurzelgleichungen. Du lernst in diesem Video, wie man Wurzelgleichungen mathematisch sauber löst, und wie und warum man stets die Probe machen muss. Über folgende Dinge solltest Du bereits Bescheid wissen: Als Erstes natürlich die Wurzeln. Lineare Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen zu lösen, sollte für dich kein Problem sein. Auch quadratische Gleichungen solltest du mittels pq-Formeln lösen können. Und mit binomischen Formeln solltest Du vertraut sein. Was ist überhaupt eine Wurzelgleichung? Eine Gleichung, in der eine Wurzel vorkommt, ist noch keine Wurzelgleichung. In der Gleichung muss eine Unbekannte, zum Beispiel x vorkommen, nach der wir dann auflösen. Aber auch in dieser einfachen Form wäre es noch keine Wurzelgleichung. Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbakannte x unter der Wurzel steht. An dieser Stelle ein paar Anmerkungen zum Definitionsbereich. Der Definitionsbereich ist die Menge aller Zahlen, die man für x überhaupt einsetzen dürfte. Wie ihr bestimmt schon wisst, darf unter einer Wurzel nichts negatives stehen. Damit hat jeder Wurzelterm, und somit jede Wurzelgleichung einen eingeschränkten Definitionsbereich. Der Term auf der linken Seite liefert uns, dass x?2 sein muss. Der Term auf der rechten Seite liefert, dass x?8 sein muss. Insgesamt erhalten wir als Definitionsbereich die Menge der Zahlen von 2 bis 8. Dies liefert uns normalerweise eine einschränkende Bedingung für unsere Lösung. Aber da wir eh die Probe machen, werden wir das gar nicht brauchen. Man sollte dennoch wenigstens einmal was vom Definitionsbereich gehört haben, da er spätestens bei den Wurzelfunktionen unverzichtbar ist. Aber nun zur Sache, wie löst man Wurzelgleichungen? Am besten geht man dabei in folgenden 4 Schritten vor: 1. Die Wurzel isolieren, das heißt, alleine auf eine Seite der Gleichung bringen. 2. Beide Seiten der Gleichung quadrieren. 3. Nach der Unbekannten auflösen und 4. Wir müssen die Probe machen. Das nun folgende Beispiel ist zwar schon etwas komplexer, aber nur so werden die einzelnen Schritte auch klar. Im ersten Schritt isolieren wir die Wurzel. wir bringen also x von 4 auf die andere Seite. Mit dem Befehl -x-4 erhalten wir \sqrt2x-5=x-4. Im zweiten Schritt quadrieren wir die Gleichung auf beiden Seiten. Auf der linken Seite heben sich Quadrat und Wurzel auf, rechts berechnen wir die binomische Formel. x²-8x+16. Der dritte Schritt, nun lösen wir nach x auf, indem wir alles auf die rechte Seite bringen und die pq-Formel anwenden. Mit -2x+5 erhalten wir 0=x²-10x+21. Also liefert die pq-Formel x1/2=5±\sqrt25-21. Da unter der Wurzel eine 4 steht und \sqrt4=2 ist, bekommen wir 5±2. Somit erhalten wir die Lösungen x1=3 und x2=7. Der 4. Schritt ist die wirklich unverzichtbare Probe. Setzen wir x1=3 in unsere oben stehende Ausgangsgleichung ein, erhalten wir \sqrt2×3-5+3+4=2×3. Also\sqrt1+7=6. Und damit 8=6. Das ist ein Widerspruch, vermerkt durch einen kleinen Blitz oder dem Kommentar: Falsche Aussage. Das bedeutet, dass x=3, unsere Ausgangsgleichung überhaupt nicht löst. Man spricht da von einer sogenannten Scheinlösung. Setzen wir x2=7 in die Ausgangsgleichung ein, erhalten wir \sqrt2×7-5+7+4=2×7. Also \sqrt9+11=14. Und somit 14=14, eine wahre Aussage. Da x1=3 nur eine Scheinlösung war, ist nun x2=7 unsere einzige Lösung der Gleichung. Zum Quadrieren von Gleichungen noch ein paar Bemerkungen. Das Quadrieren ist keine harmlose Äquivalenzumformung, denn wir können damit den Wahrheitsgehalt einer Gleichung verändern. Um das zu erkennen, muss man nach dem Lösen von Wurzelgleichungen stets die Probe machen, da sich nach dem Quadrieren in der Regel Scheinlösungen einschleichen. Um das zu erkennen, muss man nach dem Lösen von Wurzelgleichungen stets die Probe machen, da sich nach dem Quadrieren in der Regel Scheinlösungen einschleichen. Kommen Unbekannte in der Gleichung vor, so kann sich die Anzahl der Lösungen durch Scheinlösungen erhöhen. Und da solche Scheinlösungen bei Wurzelgleichungen in der Regel auftreten, merken wir uns: Probe machen. Fassen wir die 4 Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen noch einmal zusammen. 1. Die Wurzel isolieren, das heißt, so umformen, dass die Wurzel oder die Wurzeln auf einer Seite der Gleichung alleine stehen. 2. Quadrieren, auf beiden Seiten und gegebenenfalls die binomische Formel ausrechnen. Schließlich löst man nach x auf. Hier braucht man oftmals die pq-Formel. Als letzter Schritt ist die Probe zu machen, um eventuelle Scheinlösungen auszuschließen. Wir merken uns: isolieren, quadrieren, auflösen, Probe. Jetzt weißt Du bescheid, wie man Wurzelgleichungen löst. Das wars, ich wünsche dir noch viel Erfolg bei deiner weiteren Ausbildung und auf Wiedersehn.

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3 Kommentare
  1. Default

    Hat mir geholfen aber du hast m,anchmal ei bissche schnell gesprochen.

    Von Cado11, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Danke für das super strukturierte und sachliche Video!!

    Von M Koene, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    danke für das video, hat mir wisklich sehr geholfen, hab endlich auch verstanden was das mit dem definitionsbereich verstanden!!

    Von Emma L B, vor mehr als 4 Jahren