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Transkript Linearkombinationen von Matrizen

Hallo und willkommen, es geht um Matrizen und Skalare und was beide miteinander zu tun haben können. Nehmen wir uns ein Skalar, eine reelle Zahl also, und eine Matrix, nehmen wir eine n×m-Matrix, den allgemeinen Fall. Die Matrix A können wir auch schreiben als Zahlenschema, wenn wir uns das vorstellen, und wir können beide miteinander zusammenbringen, und zwar über die skalare Multiplikation, und die ist wie folgt definiert. Die skalare Multiplikation sieht so aus: Wir multiplizieren eine Matrix mit einem Skalar. Und definiert ist das Ganze so, dass wir jeden Eintrag der Matrix A mit der reellen Zahl α, also mit dem Skalar α, multiplizieren und heraus kommt das neue Element, der neue ij-Eintrag jeweils der neuen Matrix. Und das war's auch schon. Da ist die Skalarmultiplikation. Machen wir einmal ein Beispiel, damit das klar wird. Nehmen wir uns als Matrix A mal eine 2×2-Matrix und lassen wir den Skalar mal die 4 sein, was ist dann das Ergebnis der skalaren Multiplikation, also der Multiplikation eines Skalars, der 4, mit der Matrix A? Schreiben wir das einmal hin und beachten diese abstrakte Rechenvorschrift. Wir müssen jeden Eintrag der Matrix A mit der 4 multiplizieren. Also 4×1=4, 4×(-2)=-6, 4×3=12, 4×6=24. So, das ist die neue Matrix, das Ergebnis der skalaren Multiplikation, und zwar der Multiplikation des Skalars α mit A. Das war's auch schon zur skalaren Multiplikation. Man kann also Matrizen nicht nur addieren, sondern man kann sie sogar mit Skalaren multiplizieren. Also, was wir jetzt haben, ist die Matrizenaddition zur Verfügung und die skalare Multiplikation. Beides kann man miteinander kombinieren, und zwar, wenn wir uns einmal zwei Matrizen nehmen vom selben Typ, zwei n×m-Matrizen. Das war das Symbol für die Menge aller Matrizen, die aus n Zeilen und m Spalten bestehen und nehmen wir zwei Skalare, zwei reelle Zahlen. Dann können wir die Matrix A mit dem Skalar α multiplizieren und zu dem addieren, was sich ergibt, wenn man die Matrix B mit dem Skalar α multipliziert. Wenn wir uns die Matrizen mal als Zahlenschemata vorstellen, so. Wie war das definiert? Die skalare Multiplikation αaij und dann haben wir erst einmal die skalare Multiplikation ausgeführt und das machen wir auch jetzt hier. Mit diesen beiden ergibt sich eine neue Matrix, und wenn wir diese beiden neu entstandenen Matrizen jetzt noch zusammenbringen, dann ergibt sich die Matrix, deren Einträge sich so ergeben, und die Matrix nennen wir vielleicht einfach C. Und das wäre also der ij-te Eintrag der Matrix C. Machen wir ein Beispiel. Wir möchten gerne die beiden Matrizen α=2 und β=1/2 und die Matrizen, wie wollen wir die wählen? Wichtig ist, dass die beiden Matrizen wieder vom selben Typ sind. Wir wollen sie schließlich addieren. So, wollen wir die mal hier so skalar multiplizieren und addieren, das Ganze nennt man Linearkombinieren. Wir linearkombinieren jetzt die beiden Matrizen A und B mit den beiden Linearkombinationsfaktoren α und β. So, wie sieht das denn aus? Was ergibt sich da? 1/2 für β mal Matrix B. Gut, dann wollen wir mal rechnen. Die erste Matrix, die sich ergibt als Ergebnis aus der skalaren Multiplikation aus der 2 mit dieser Matrix ist 2, 4, -2 und 6. Die zweite Matrix, die sich ergibt, ist -1/2, 3, 2 und 1. Und jetzt addieren wir das einmal und was kommt heraus? Beide sind jetzt vom selben Typ, das geht. Also haben wir 2-1/2=3/2, 4+3=7, -2+2=0, 6+1=7. Das ist also die neue Matrix C, die sich als Linearkombination der beiden Matrizen A und B ergibt. Also das Ganze nennt man Linearkombination, wie man es auch bei Vektoren nennt. Nehmen wir uns mal zwei, das sind etwas merkwürdig anmutende Matrizen. Schauen wir uns die mal an. Was soll das sein? Das sind zwei - was sind das für Matrizen? Die haben drei Zeilen und nur eine Spalte. Drei Zeilen, das sind 3×1-Matrizen. So etwas haben wir schon einmal gesehen, das sind gleichzeitig auch Vektoren. Wir sehen, Vektoren sind auch Matrizen. Vektoren. Und was sind das für Vektoren? Das sind Vektoren im R3, Vektoren mit drei Komponenten. Und die können wir auch linear kombinieren. Für die sind genauso skalare Multiplikation und Addition festgelegt wie für Matrizen. Also müssen wir jetzt zwei Skalare wählen, α und β. Dann können wir die beiden Matrizen linearkombinieren. Und dann ist das nichts weiter als die Linearkombination dieser beiden Vektoren. Also, wir sehen, Vektoren sind auch Matrizen, spezielle Matrizen. So, wie geht das hier weiter, wie wollen wir das jetzt rechnen? Die Skalarmultiplikation ist jetzt so definiert, dass wir jede Komponente mit der 2 multiplizieren, das ergibt im ersten Fall eine 4, dann eine 2 und eine 0 und wie geht's weiter? 3×1=3, 3×(-4)=-12, 3×1=3. So, jetzt addieren wir die beiden noch. Dann kommen wir auf die 7, auf die -10 und auf die 3. Das ist der neue Vektor, eine neue, ja was ist das für eine Matrix? Eine Matrix mit 3, die ist vom selben Typ, eine 3×1-Matrix. Wie ist das denn mit den Matrizen (1 0 2). Was sind das für komische Matrizen, kann man die auch addieren? Antwort ist: Natürlich kann man das, die sind ja alle in diesem Falle vom selben Typ. Das sind zwei Matrizen, und zwar, was haben die, die haben eine Zeile und drei Spalten, das sind 1×3-Matrizen. Wie haben wir so etwas genannt? So etwas haben wir genannt Zeilenvektor. So, jetzt haben wir also diesen Zusammenhang gesehen zwischen Matrizen und Vektoren und wir sehen, dass die Linearkombination von zwei Matrizen im Fall, dass sie Matrizenvektoren sind, nichts weiter ist, als das was wir gesehen haben bei Vektoren, eine Linearkombination von Vektoren. Das war es auch schon zu Matrizen und Skalaren. Ich bedanke mich fürs Zuhören.    

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3 Kommentare
  1. Default

    -2 * 4 ist gleich -8 , nicht -6 , wie auf dieser Video steht .

    Von Saif Bouhoche, vor 10 Monaten
  2. Default

    Selbstverständlich hast Du recht.

    Von Lutz Klaczynski, vor fast 6 Jahren
  3. Default

    Bei der Multiplikation käme -8 statt -6 heraus im 1. Teil.

    Von Voigt, vor fast 6 Jahren