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Transkript Linearkombinationen – Veranschaulichung

Hallo, wir machen hier eine Linearkombination, die hab ich mal aufgeschrieben aus 3 Vektoren, die dann jeweils noch mit einer Zahl multipliziert werden. Und es soll jetzt darum gehen, nicht das auszurechen, sondern sich das Mal hier an diesem schönen dreidimensionalen Koordinatensystem vorzustellen. Ja, sagen viele, ja, warum muss ich mir das denn vorstellen oder ich kann mir das nicht vorstellen oder so. Ja, aber deshalb üben wir das, damit du dir das hinterher vorstellen kannst. Denn das ist so ein bisschen langweilig immer nur mit solchen Zahlenkolonnen rumzurechen, ohne sich vorzustellen, wie die Dinger wirklich aussehen. Also, dafür gibt es hier dieses Koordinatensystem und ich fang mal hier vorne an, einfach mal mit dem Vektor, der hier steht, nämlich 1, -2 und 3. Oder 1, -2, 3 wird das meistens gesagt ohne das Und dazu. Dann zoom ich das eben hier ran. So, wir haben hier das Koordinatensystem, da geht's da vorne in die positive x-Richtung und y-Richtung, z-Richtung. Und ich hab hier mal diesen Zeigestab vorbereitet, dann ist es nicht so hell in der Kamera mit meinen Händen. Wir haben hier also, die 1 geht nach vorne, dahin, dann haben wir -2. Also da wäre die positive x2-Richtung bzw. y-Richtung. Wir müssen aber hier negativ nach da hingehen.  Also hier ist -2. Und 3 nach oben wegen +3, d. h. hier muss also der Vektor hin bzw. der Pfeil, der von Nullpunkt zu diesem Punkt hingeht. Aber das werd ich nicht immer so umständlich formulieren, sondern einfach sagen hier, da ist der Vektor, der Ortsvektor von mir aus, ist egal. So, das ist erst mal dieser Vektor hier, der, der, der muss aber noch mit 2 multipliziert werden. Und das bedeutet einfach, dass die Koordinaten sich verdoppeln und das haben wir schon besprochen, das kennst du aus dem zweidimensionalen Koordinatensystem. Wir bekommen jetzt hier einen Pfeil, einen Vektor, eine Einheit aus Richtung und Länge, die jetzt dieselbe Richtung hat, aber doppelt so lang ist. Ja, und das sieht ungefähr so aus: da ist er, hat dann die Koordinaten 2, -4 da und +6, das ist da. Das kommt ungefähr hin. Nicht ganz auf den Millimeter, aber das ist so auch nicht nötig, Hauptsache, du kannst dir das vorstellen. Ich drehe das noch mal eben, vielleicht wird's dadurch ein bisschen anschaulicher, ansonsten ja, lass ich das einfach Mal so stehen. Das ist auch so, wie du das normalerweise zeichnest mit der positiven x-Achse, die dir quasi entgegenkommt. Gut, dann geht's weiter mit dem zweiten Vektor, hier steht ja einmal -1, 3 und 1 und ja, da kann ich mir die Sache einfach machen. Das multiplizieren hinterher mit der Zahl, die davor steht. Das muss ich jetzt nicht machen, ich kann einfach diesen Vektor -1, 3, 1 hier hinpacken in das Koordinatensystem und ihn dann so lassen wie er ist. Wenn man einen Vektor mit 1 multipliziert, bleibt er ja einfach so. Also dann, wir brauchen -1, das ist also hier in der negativen x-Richtung also nach hinten. Da geht's lang, ja, ich glaube, das kann man so sehen. Da geht's lang, nach hinten. Dann brauchen wir 3 in die positive y-Richtung bzw. x2-Richtung und das ist hier. Da -1 und +3 und dann 1 nach oben. Von da bis da haben wir die Bewegung, die dieser Vektor ist, diese Einheit aus Richtung und Länge und ich glaube, das kann man hier so sehen. -1, 3 und 1, so ungefähr muss es aussehen. Ja und das kann ich auch noch mal eben drehen, damit du das vielleicht noch mal so auf der x2-Achse siehst. Hier ist die x2-Achse. Wenn du da entlang guckst, kannst du den Punkt sehen. So, und dann kommt noch der dritte Vektor. Also, bisher hab ich die Addition hier noch nicht gemacht, die kommt dann gleich. Ich nehm erst mal diesen Vektor hier, das ist also -1,5, -0,5 und 3. Wo kann ich den denn mal ansiedeln hier? Ich muss also -1,5 zurückgehen, auf der x-Achse. -0,5 auf der y-Achse, das ist hier. Ja, das ist jetzt verdeckt, hinter diesem dicken Nullpunkt hier dieses Koordinatensystems. Aber du kannst dir vorstellen, wo das jetzt ist. Und dann geht es 3 nach oben, also bis hierhin. Und das möchte ich jetzt mal simulieren mit diesem kleinen Bömpel hier. Da ist er. So glaub ich, so kommt das hin. -1,5, -0,5, ja ein bisschen rüber noch, so -0,5, passt schon. Und 3 nach oben, da ist er. Und jetzt muss das Ganze hier ja noch, dieser Vektor hier, der muss jetzt noch mit -3 multipliziert werden. Wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert, wenn man einen Vektor mit einer negativen Zahl multipliziert, dann kehrt dieser Vektor seine Richtung um. Und das sieht in unserem Fall dann so aus, dass der Vektor nicht von hier nach da geht, sondern vom Nullpunkt in die entgegengesetzte Richtung, also dahin. Ich hoffe, das passt so. Wir können das noch mal eben nachvollziehen, wenn ich jetzt rechne -3×(-1,5), kommt +4,5 raus. Das heißt, in die positive x-Richtung, also 4,5 das ist hier ungefähr. Ich glaube, das kommt hin, ich kann's gar nicht genau sehen von hier. Vielleicht kann man so noch mal drehen, aber das müsste schon hinhauen so. Also -3×(-0,5) = 1,5 in die positive x2-Richtung bzw. y-Richtung. Ja, es muss ein bisschen ran hier, so. So ist das besser. Und dann haben wir -3×3, das ist -9. Und hier siehst du,  dass 9 Einheiten nach unten, da hört zwar schon die Skala auf, aber so ungefähr wird das wohl hinkommen. So und dann nehm ich den jetzt mal weg, dann irritiert er nicht. Ja, und jetzt kommt noch die Lage, dass sich also alles addieren muss. Jetzt kommt die Addition, wollte ich sagen. Also, dieser Vektor plus dieser Vektor bzw. dieses pfeilähnliche Gebilde, was der Vektor da darstellt. Das werde ich nicht so einmal sagen, also du siehst hier eine Einheit aus Richtung und Länge. Das ist ein Vektor und da kommt jetzt ein anderer Vektor dran und das kann man so darstellen. So, da ist er. Und jetzt kommt noch ein weiterer Vektor hinzu. Ich dreh das mal ein bisschen, vielleicht kann man das besser sehen so. Nämlich der hier hinten kommt noch dazu. Also der wird jetzt hier drangesetzt. So, damit das jetzt auch gut hält, nehm ich jetzt mal hier diese Knete weg. Und das ist jetzt der Vektorzug, der rausgekommen ist hier. Erster Vektor + zweiter Vektor + dritter Vektor. Und wir haben letzten Endes eine Richtung, die von hier nach da geht. Das wäre das Ergebnis vom Nullpunkt zu diesem Punkt hin. Ja, ich mach's noch mal vor neutral im Hintergrund vielleicht. Also hier hast du wirklich die Möglichkeit dein räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren, was du sicher im Leben auch gebrauchen kannst. Soll einmal einer sagen, dass man räumliches Vorstellungsvermögen niemals gebrauchen kann im täglichen Leben, doch, das kann man! Und hier kannst du es üben an diesen Koordinaten, an diesen Vektorräumen und überhaupt in der Vektorrechnung, in der analytischen Geometrie. Das ist quasi das Salz in der Suppe, würde ich sagen. Hier ist der Vektor, den du dir vorstellen kannst. Das war's, bis dahin. Tschüss.

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