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Transkript Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1)

Hallo hier habe ich mal 3 Vektoren vorbereitet. Zu dem habe ich schon mal was gemacht und als Linearkombination zweier Vektoren dargestellt. Das möchte ich jetzt noch mal machen, und zwar mit 2 anderen Vektoren. Aufgabe ist also, dass dieser Vektor mit den Koordinaten (3,-1,9) durch diese beiden Vektoren hier dargestellt wird, und zwar mithilfe einer Linearkombination. Und das schreibt man so auf. Wir haben, dieser Vektor ist also gleich, das passt kaum hin, also das ist ein Gleichheitszeichen, x×(2,4,-1)+y×(7,7,7). Ja sehr einfallsreich ist das, aber darum geht es jetzt nicht, es geht jetzt einfach darum, wie löst man das jetzt formal. Und die Methode ist, wenn wir hier 2 Vektoren haben und ein Dritter soll rauskommen, dann wissen wir, dass wir dadurch 3 Gleichungen bekommen können, nämlich koordinatenweise können wir die Gleichung hier hinschreiben, das heißt, in der 1. Koordinate muss also gelten 3=x×2+y×7. So, das ist die Gleichung, die aus der 1. Koordinate hier entspringt, quasi. Die Gleichung der 2. Koordinate kann man auch hinschreiben. Das ist also -1=x×4, ja schönes Gleichheitszeichen hier, x×4+y×7. So und das ist jetzt ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen. Und das können wir lösen und dann die gefundenen Lösungen für y und x in die 3. Koordinatengleichung einsetzen, die sich dann ergibt zu 9=x×-1+y×7. Das ist also die Methode, man nimmt die 1. beiden Gleichungen und rechnet x und y aus, dann setzt man die Werte in die 3. Gleichung ein und guckt, ob das stimmt, und wenn das stimmt, dann hat man halt eine Linearkombination gefunden, die diesen Vektor darstellt.  Nun was könnte ich hier machen? Es gibt ja das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren. Ich möchte mich hier für das Additionsverfahren entscheiden, und zwar, weil ich sehe, hier haben wir 4x, hier haben wir 2x, das heißt, ich müsste nur noch die 1. Gleichung mit -2 multiplizieren. Dann diese beiden Gleichungen addieren und herauskommt dann folgende Gleichung, ich fange mal mit dem x an, wenn ich x×2 mit -2 multipliziere, steht hier -4x, dann muss ich noch +4x rechnen, und das ist 0, die schreibe ich mal hier hin. Hier links des Gleichheitszeichens steht dann -2×3, das ist -6, und -1 dazu, ist -7. Und hier habe ich y×7, also 7y×-2, das sind -14y. Dann kommen noch 7y dazu, wir haben dann also nur noch -7y, also 0-7y, ja und das kann ich direkt ausrechnen. y=, wenn ich auf beiden Seiten durch -7 teile, gleich 1. Und diesen Wert setze ich dann in eine der beiden Gleichungen ein. ich entscheide mich für die 1. Gleichung. Jetzt kommt also das Einsetzen, wieder hier durch einen Strich getrennt. 3=x×2+7, so und auch das glaube ich ist kein Problem. Ich rechne -7 auf beiden Seiten, dann steht hier -4=2x. Dann muss ich noch durch 2 teilen und erhalte x=-2, denn -4/2=-2. Das sind die beiden Ergebnisse, die ich hier habe, da und da. Nicht wahr, hier kann ich sie noch mal hier hervorheben: y=1 und x=-2.  So und daraus mache ich hier jetzt die 3. Gleichung. Nämlich hier steht dann 9=-2×(-1), diese Klammer ist nicht überflüssig hier, denn es dürfen keine 2 Rechenzeichen nebeneinanderstehen. Wir haben +y, das ist 1×7 und dann können wir das ausrechnen, ob das jetzt stimmt. -2×-1=+2, 2+7=9, damit ist das richtig und wir haben also eine Linearkombination gefunden. Ich schreibe sie einfach noch mal hin. Das Ergebnis, hier wieder getrennt durch einen Strich, ist nun, wir haben (3,-1,9). Diesen Vektor können wir als Linearkombination darstellen, die dann folgender Maßen lautet, also: -2×(2,4,-1)^->+1×(7,7,7)^->. So, deutlicher wird es nicht mehr, ich glaube ich kann dann damit schließen. Das ist das Ergebnis, die Linearkombination, tschüss!

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