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Transkript Linearkombinationen – Definition

Hallo, jetzt kommt ein Begriff aus der Vektorrechnung auf den ich mich, wie man sieht, schon ganz besonders freue, die Linearkombination. Die Linearkombination ist der Begriff und ich freu mich deshalb darauf, weil der von der Sache her unheimlich einfach ist. Vielleicht kommst du dir auch ein bisschen verarscht vor. Es ist auch nicht schwieriger als ich es zeige, aber was daraus folgt ist riesengroß. Es folgt ein eigenes Beweisverfahren, es folgt der Begriff der linearen Unabhängigkeit, es folgen Basen von Vektorräumen. Das ist richtig toll. Natürlich braucht man ein bisschen Gehirnschmalz noch, den man investieren muss, aber das kommt quasi aus diesem einen Begriff heraus. Auf Gleichungssysteme kann man das auch anwenden, auf Gleichungssysteme mit n-Gleichungen, also mit beliebig vielen Gleichungen. Ja, ich möchte den Begriff einfach zeigen, da er eben sehr einfach ist: Wir haben einen Vektor dargestellt durch diesen Pfeil. Den Vektor können wir multiplizieren und dadurch entsteht ein Pfeil, der etwas länger ist, aber in die gleiche Richtung geht. Das haben wir gemacht und so sieht das ungefähr aus. Dann könnte man einen anderen Vektor nehmen, den mit einer anderen Zahl multiplizieren und eben diesen dazu addieren und das sieht dann so aus zum Beispiel. Das ist jetzt also die Multiplikation des grünen Vektors. Es ist alles willkürlich gewählt, also ich mach mir jetzt keine Gedanken, welche Richtung nehmen die genau, ich wollte nur in etwa einen Rahmen konstruieren.Ich werde also auch diesen pinkfarbenen Vektor multiplizieren und hier dran setzen an das, was schon entstanden ist. Also wir haben hier eine Summe aus diesem orangefarbenen Vektor, der sich aus diesen vier kleinen Vektoren zusammensetzt. Dann haben den grünen Vektor, den großen hier, der sich aus acht Teilen zusammensetzt, den haben wir addiert und jetzt addieren wir noch den pinkfarbenen Vektor und zwar das fünffache dieses kleinen Vektors hier. Und das, was ich gezeigt habe, ist letzten Endes die Linearkombination. Das heißt, wir nehmen ein vielfaches eines Vektors, addieren das vielfache eines anderen Vektors und das vielfache eines weiteren Vektors usw. usw. und das ganze, was dabei raus kommt nennt sich Linearkombination. Und da das jetzt so ein großer Begriff ist, der auch in der höheren Mathematik verwendet wird, möchte ich ihn einmal formal formulieren: Wir haben eine reelle Zahl, die nennen wir mal r1 und die können wir multiplizieren mit einem Vektor, der jetzt hier für unsere Zwecke mal Und jetzt müssten wir noch sagen, was r1, r2 jeweils sein sollen. Das kommt mit in die Definition. Fangen wir an mit n: N ist ein Element der natürlichen Zahlen und dann kommt ein i dazu. Das i hab ich bisher noch nicht verwendet, das kommt aber gleich in der weiteren Beschreibung. Das i ist eine Element der Menge, in der sich die natürlichen Zahlen von 1 bis n befinden. Und was ich jetzt aufschreibe soll für alle i gelten. Wenn da jetzt zum Beispiel steht, dass r i Element der reellen Zahlen ist, das heißt dann also r1 ist Element der reellen Zahlen, r2 ist Element der reellen Zahlen bis rn. Das sollen alles reelle Zahlen sein. Dann haben wir ai, das ist ein Vektor – wir haben eh jetzt gesprochen über Vektoren, die drei Koordinaten haben – das heißt also ich kann auch sagen, das ai Element des R3 ist – R hoch 3 geschrieben, R3 gesprochen. Das bedeutet hier also Zahlentripel, Vektoren mit drei Koordinaten jeweils. Ich könnte hier auch was anderes einsetzen, also auch höher-dimensionale Vektoren. Auch dann wäre das hier eine Linearkombination, ist in der Schule aber eher unüblich, deshalb bleich ich hier bei R3. Oder man kann auch einfach schreiben: Elemente des Vektorraums, Elemente von V. Ich schreib es noch in Klammern hin: Elemente von V. Ja so kompliziert kann man es aufschreiben. Übrigens, alle ri?s die heißen Koeffizienten der Linearkombination, das kennst du schon von den binomischen Formen, die Binominialkoeffizienten. Hier heißen die r´s jedenfalls Koeffizienten. Das was dahinter steckt ist nichts anderes als das, was ich mit diesen Pfeilen gelegt habe. Komplizierter ist es halt nicht. Viel Spaß damit. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. 17

    Wunderbar! Martin Wabnik - Der Held der Mathewelt! :)

    Von Lisa G., vor etwa 7 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Endlich ein Video zur Linearkombination! Sehr schön und einfach erklärt.

    Von Steve Taube, vor mehr als 7 Jahren