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Transkript Lineares Wachstum – Eigenschaften

Hallo! Wie kannst du feststellen, ob sich eine mathematische Größe linear ändert oder ob sie sich auf eine andere Art und Weise ändert? Ich möchte nicht besprechen, was lineares Wachstum oder lineare Abnahme ist. Das hatten wir schon. Ich möchte jetzt besprechen: Wie kannst du von einem realen Experiment und realen Messwerten, die du erhalten hast, auf die Art und Weise des Wachstums schließen oder der Abnahme schließen? Wie kannst du also feststellen, ob es lineares Wachstum ist oder nicht? Dazu möchte ich kurz das Experiment durchgehen, nicht in allen Einzelheiten, das würde viel zu lange dauern. Also, grundsätzlich machen wir Folgendes, wir überlegen uns: Welche mathematische Größe möchte ich überhaupt betrachten? Da ich hier eine Dominobahn aufgebaut habe, betrachten wir einmal die Anzahl der umgefallenen Steine einer Dominobahn, natürlich erst, wenn ich sie angetitscht habe, dann fallen die Steine ja alle um. Anzahl der umgefallenen Steine, abhängig von der Zeit, das wollen wir einmal betrachten. Dazu muss ich einfach einmal dieses Experiment machen. Ich darf das einmal vormachen eben. Experiment geglückt. Ich hätte jetzt natürlich alles genau festhalten müssen. Vielleicht mit einer Hochgeschwindigkeitskamera aufnehmen und eine Stoppuhr dazutun oder wie auch immer. Das mache ich jetzt nicht alles im Einzelnen vor. Aber es hätte ja nun sich Folgendes zutragen können, dass wir folgende Messwerte bekommen. Zum Zeitpunkt 0 ist überhaupt kein Stein umgefallen, ja, ganz am Anfang. Dann habe ich den einen hier angestoßen und zum Beispiel nach der ersten Zehntelsekunde sind 3 Steine umgefallen. Du kannst das mit einem entsprechenden Programm hier auch genau nachmessen, es wird nicht ganz stimmen. Also, es hat etwas hier länger gedauert als 9 Zehntelsekunden. Es ist hier egal. Ich wollte nur grundsätzlich zeigen, wie das hier funktioniert. Einmal angenommen, nach der ersten Zehntelsekunde sind also diese 3 blauen Steine umgefallen. Nach der 2. Zehntelsekunde sind weitere 3 Steine umgefallen, hier diese gelben. Also waren es nach 2 Zehntelsekunden 6 Steine, nach 3 Zehntelsekunden waren es 9 Steine, und du ahnst, wie es weitergeht. Nach 4 Zehnteln waren es 12, nach 5 Zehnteln waren es 15, nach 6 Zehnteln 18, nach 7 Zehntelsekunden waren es 21 Steine, die umgefallen sind, und so weiter. Ich mache das jetzt nicht weiter vor. Hier in Zehntelsekunden. Das ist einfach die Anzahl der Steine, die hier stehen, die umgefallen sind. Das ist also so eine Messwertetabelle, wie du sie hier unter realen Bedingungen auch bekommen könntest. Wir haben gesagt, wenn hier also lineares Wachstum vorliegt, dann ändert sich die Größe, also die Anzahl der umgefallenen Steine, in gleichen Abschnitten immer um die gleiche Anzahl. Wir können hier feststellen zum Beispiel von der 1. auf die 2. Zehntelsekunde hat sich die Anzahl der umgefallenen Steine um 3 geändert, dann von der 4. bis zur 5. Zehntelsekunde hat sich die Anzahl der Steine, die umgefallen sind auch um 3 erhöht. Und daraus folgt nun eine einfache Regel, mit der man hier feststellen kann, ob es sich um lineares Wachstum handelt. Man zieht einfach Messwerte voneinander ab, und zwar Messwerte, die zeitlich im gleichen Abstand auseinanderliegen. Hier zum Beispiel jeweils um eine Zehntelsekunde könnten die auseinanderliegen. Ich nehme den Messwert bei 2 Zehntelsekunden, der ist gleich 6, also 6 Steine sind nach 2 Zehntelsekunden umgefallen. Ich nehme den Messwert auch bei einer Zehntelsekunde, das waren 3 Steine, und 6, also der Wert bei 2 Zehntelsekunden minus der Wert bei einer Zehntelsekunde ist gleich 3. Das kann ich für andere Messwerte auch machen. Ich nehme den zum Beispiel nach 5 Zehntelsekunden, das sind 15 Steine, nach 4 Zehntelsekunden, das sind 12 Steine. Wenn ich die beiden voneinander abziehe, dann ergibt sich hier auch eine 3. Ich glaube, ich brauche das nicht weiterzumachen. Du hast das Prinzip verstanden. Immer wenn ich jetzt benachbarte Messwerte voneinander abziehe, immer den großen minus den kleinen, kommt 3 heraus. Und das ist eine wichtige Eigenschaft, sie hat einen besonderen Namen. Sie nennt sich Differenzengleichheit. Das ist die Differenzengleichheit, ich bilde die Differenzen, und alle Differenzen sind gleich. Das ist die Eigenschaft des linearen Wachstums oder der linearen Veränderung. Immer wenn du eine Wertetabelle hast und du stellst Differenzengleichheit fest, dann weißt du auch, es handelt sich um eine lineare Änderung, um lineares Wachstum oder lineare Abnahme, wobei nebenbei erwähnt und der Vollständigkeit halber: Wenn es sich hierbei um eine Abnahme handeln würde, wir können ja auch die Anzahl der noch stehenden Steine pro Sekunde hier aufschreiben, man könnte auch immer diesen Messwert minus diesem rechnen, oder diesen minus diesem, und da die Größe ja immer weiter abnimmt, ist das, was abgezogen wird, größer als das, was vorher da war, und deshalb würden hier negative Zahlen herauskommen. Wenn die Differenzen negativ sind, handelt es sich um eine lineare Abnahme. Wenn diese Differenzen positiv sind, dann handelt es sich um eine lineare Zunahme, vorausgesetzt natürlich, die Differenzen sind alle gleich. Das war's dazu, tschüss.

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