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Transkript Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben

Hallo, toll, dass du mal wieder hier bist.

Lineare Ungleichungssysteme: Textaufgabe 1

Die Summe zweier natürlichen Zahlen soll größer als 7 sein. Die Differenz dieser beiden Zahlen soll kleiner als 3 sein. Diese Aufgabe klingt zunächst ziemlich schwer. Aber mit Hilfe eines linearen Ungleichungssystems kannst du diese Aufgabe sicher schnell grafisch lösen.

Zunächst müssen wir aus der Textaufgabe ein lineares Ungleichungssystem aufstellen. Die erste Ungleichung lautet x + y > 7 und die zweite Ungleichung heißt x - y < 3. Diese beiden Ungleichungen müssen wir nun nach y umstellen. Dies geht bei diesen beiden Ungleichungen sehr schnell und führt zu folgenden Ergebnissen.

Wenn wir bei der ersten Ungleichung 1x subtrahieren, so erhalten wir y > -x + 7. Bei der zweiten Ungleichung müssen wir zunächst y addieren und dann 3 subtrahieren und erhalten y > x -3.

Nun müssen wir die beiden Randgeraden y = - x + 7 und y = x -3 in ein Koordinatensystem einzeichnen. Achte dabei auf die unterschiedlichen Farben. Die erste Randgerade ist blau und die zweite Randgerade ist rot eingezeichnet.

Oberhalb der beiden Geraden befinden sich die beiden Halbebenen, die die jeweilige Lösungen der einzelnen linearen Ungleichung darstellen. Die Schnittmenge dieser Halbebenen ist das Planungsgebiet, das die Lösung des linearen Ungleichungssystems darstellt. Es ist in der Grafik lila gezeichnet.

Nun können wir die Lösungen ablesen. Natürlich gibt es hier auch wieder unendlich viele Lösungen, obwohl es sich hier ja um natürliche Zahlen handelt. Zwei Lösungsmöglichkeiten sind die Wertepaare drei fünf und fünf drei.

Lineare Ungleichungssysteme: Textaufgabe 2

Wir wollen nun noch eine zweite Textaufgabe lösen. Das Doppelte der ersten Zahl addiert zur zweiten Zahl ist kleiner als 4.Wenn man die Summe aus dem Vierfachen der ersten Zahl und dem Doppelten der zweiten Zahl bildet, dann erhält man mehr als 10. Wie lauten die beiden Zahlen?

Wir stellen zuerst wieder die beiden Ungleichungen auf. Die erste Ungleichung heißt 2x + y < 4. Die zweite Ungleichung lautet 4x + 2y > 10. Diese beiden Ungleichungen müssen wir nun nach y umstellen. Wir stellen zunächst die erste Ungleichung um. Wir subtrahieren beide Seiten der Ungleichungen mit -2x und erhalten y < 4 - 2x beziehungsweise y < -2x+4.

Die zweite Ungleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst beide Seiten der Ungleichung mit 4x subtrahieren. Wir erhalten 2y>10-4x. Im Anschluss teilen wir beide Seiten durch 2 und erhalten y> 5-2x beziehungsweise y > -2x+5.

Nun müssen wir die beiden Randgeraden y gleich -2x +4 sowie y gleich -2x +5 in das Koordinatensystem einzeichnen. Diese sind hier in unterschiedlichen Farben dargestellt. Wie du siehst, verlaufen beide Randgeraden parallel. Ob dies eine Auswirkung auf unsere Lösung hat, werden wir gleich sehen, wenn wir die Halbebenen einzeichnen. Sie verlaufen über der roten beziehungsweise unter der blauen Randgeraden.

Und was fällt dir auf? Es gibt überhaupt keine Schnittmenge, das heißt es gibt kein Planungsgebiet und daher auch keine Lösung!!! Damit hättest du bestimmt nicht gerechnet. Bis jetzt hatten wir schließlich nur lineare Ungleichungssysteme, die unendlich viele Lösungen hatten.

Die Ursache hierfür ist, dass die beiden Geraden parallel verlaufen und sich die Halbebenen einmal über der Randgerade und einmal unter der Randgerade befinden.

Schluss

Ich hoffe, dass dich diese Tatsache nicht allzu sehr überrascht hat! Aber auch einen solchen Sonderfall solltest du einmal gesehen haben. Ich denke, dass du in Zukunft Textaufgaben zu linearen Ungleichungssystemen sicher grafisch lösen kannst! Ich wünsche dir noch einen erlebnisreichen Tag! Tschüß!

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