Textversion des Videos

Transkript Lineare Ungleichungssysteme

Du hast bisher lineare Ungleichungen wie 5x + 2 > 13 oder y < -4x +2 kennengelernt. Bei der Planung von Abläufen im Handel oder in der Produktion müssen meistens einige einschränkende Bedingungen gleichzeitig beachtet werden. Das heißt, hier müssen mehrere Ungleichungen erfüllt werden.

Definition und Beispiel 1 für lineare Unlgeichungssysteme

Hierzu ein kleines Beispiel. Eine Gießerei plant den Versand von Motorteilen, die in verschiedenen Kisten mit folgenden Maßen verpackt sind: entweder sind sie für 1,6 Tonnen und 2,7 m³ Volumen oder sind sind für 2 Tonnen und 1,8 m³ Volumen ausgelegt. Der Lastwagen kann höchstens 14 Tonnen laden und hat einen Laderaum von höchstens 20 m³.

Wie sieht nun die Planung des Versandes aus? Wie belädt man den Lastwagen, sodass man möglichst viele Motorenteile liefern kann? Zur Lösung dieses Problems benötigst du zunächst den Grundbegriff des linearen Ungleichungssystems.

Ein lineares Ungleichungssystem besteht aus mindestens 2 Ungleichungen, welche gleichzeitig erfüllt sein müssen. Du hast einen ähnlichen Sachverhalt bestimmt schon bei den linearen Gleichungssystemen gesehen. Du wirst später in weiteren Videos noch sehen, dass man dieses Ungleichungssystem grafisch lösen kann.

Wie erhalten wir nun das lineare Ungleichungssystem? Die angeführten Angaben muss man nun in 2 Ungleichungen überführen, die beide erfüllt sein müssen. Die Anzahl der ersten Kisten erhält die Variable x, die Anzahl der 2.Kisten die Variable y.

Alle Kisten zusammen dürfen höchstens eine Masse von 14 Tonnen haben und ein maximales Volumen von 20 m³. Dies sind die einschränkenden Bedingungen, die erfüllt sein müssen.

Die erste Kiste ist 1,6 Tonnen schwer und die zweite Kiste ist 2,0 Tonnen schwer. Die erste Kiste hat ein Volumen von 2,7 m³, die zweite Kiste ist 1,8 m³ groß. Mit den einschränkenden Bedingungen erhält man nun folgende Ungleichungen.

1,6 x + 2,0 y <= 14 2,7 x + 1,8 y <= 20

Da keine negative Anzahl von Kisten möglich ist, gelten automatisch die einschränkenden Bedingungen: x >= 0 und y >= 0. Diese beziehen wir nicht in unseren späteren Lösungsweg ein,sondern behalten sie in Erinnerung. Ansonsten hätten wir schon ein lineares Ungleichungssystem, das aus 4 Ungleichungen besteht.

Beispiel 2 für lineare Unlgeichungssysteme

Wir wollen uns nun noch ein weiteres Praxisbeispiel anschauen, welches wir mit einem linearen Ungleichungssystem modellieren können.

Lena hat ein Zweirad-Fachgeschäft. Sie will mindestens 6 Fahrräder und mindestens 2 Mofas vorrätig haben. In ihr Lager passen höchstens 15 Zweiräder.

Die Anzahl der Fahrräder gibt die Variable x an, die Anzahl der Mofas die Variable y. Hier gibt es drei einschränkende Bedingungen. Lena will mindestens 6 Fahrräder auf Lager haben. Hieraus folgt: x muss größer oder gleich 6 sein.

Sie will mindestens zwei Mofas da haben. Hieraus folgt: y muss größer oder gleich 2 sein. Zusammen dürfen es höchstens 15 Zweiräder sein. Hieraus folgt: x plus y ist kleiner oder gleich 15. Diese drei Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein.

Beispiel 3 für lineare Unlgeichungssysteme

Ein weiteres Beispiel bezieht sich erneut auf den Bereich “Transport”. Auf einer Baustelle liegen 25 t Bauschutt, die abtransportiert werden sollen. Die Firma hat hierfür zwei Lastwagen. Der erste kann mit 4 t, der zweite mit 7 t beladen werden. Es sollen höchstens 9 Fahrten durchgeführt werden. Welche Möglichkeiten hat die Firma?

Die Variable x stellt die Anzahl der Fahrten des ersten Lastwagens dar. Die Variable y stellt die Anzahl der Fahrten des zweiten Lastwagens dar. Man erhält hier folgendes lineares Ungleichungssystem:

4x + 7 y >= 25 x + y <= 9

Es ist klar, dass hier als Lösungsmöglichkeiten nur natürliche Zahlen in Frage kommen, so dass man auf die einschränkenden Bedingungen x größer gleich 0 und y größer gleich 0 verzichtet werden kann.

Ich hoffe, dass du verstanden hast, was ein lineares Ungleichungssystem ist und wie man es aufstellt. Ich wünsche dir noch einen schönen Tag! Ich würde mich sehr freuen, wenn wir uns bald wieder mal sehen!

Informationen zum Video