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Transkript Lineare Ungleichungen

Hallo! Eine Ungleichung kann zum Beispiel so aussehen: x>2. So sagt man das: "x größer 2" oder "größer als 2". Das ist eine Ungleichung, und welche Zahlen kannst du hier einsetzen, damit die Ungleichung richtig ist? Naja, alle Zahlen, die größer als 2 sind, zum Beispiel 3, 4, 5 und so weiter, auch 138. Aber du kannst auch zum Beispiel 2,1 einsetzen. 2,1 ist auch größer als 2. Oder natürlich auch Brüche, nicht zu vergessen. 7/3 ist auch größer als 2. Das kannst du hier einsetzen, dann ist die Ungleichung richtig. Und diese Zahlen, die du einsetzen kannst, die fasst man in einer Lösungsmenge zusammen. Hier ist das L mit dem Doppelstrich, also die Lösungsmenge = alle x Element Q mit x>2. Und das kann man so verstehen: Die Lösungsmenge besteht also aus allen rationalen Zahlen, mit der Eigenschaft, dass diese Zahlen größer als 2 sein sollen oder kurz, wie man auch sagt: Die Menge besteht aus allen x Element Q mit x>2. Es gibt auch andere Ungleichungen, zum Beispiel diese hier: x≥2. Na, ich glaube, du ahnst es schon, wie sich diese beiden Lösungsmengen hier unterscheiden. In dieser Lösungsmenge ist die 2 nicht enthalten. In der Lösungsmenge dieser Ungleichung ist die 2 enthalten. Dieses Zeichen ist also so zu verstehen: Die Gleichung ist richtig für alle Zahlen, die größer oder gleich 2 sind. Man sagt kurz x "größer gleich" 2. Und die Lösungsmenge schreibe ich dann auch noch auf. Also hier das L mit dem Doppelstrich wieder, die Lösungsmenge, besteht also aus allen x Element Q, also aus allen rationalen Zahlen mit der Eigenschaft oder kurz: mit x "größer gleich" 2. Wenn du die reellen Zahlen gehabt hast, kannst du hier auch ein R einsetzen. Das ist dann auch richtig. Falls du sie nicht gehabt hast, bleiben wir bei dem Q hier. Das ist auch Okay. Nun eine Ungleichung kann auch so aussehen, dass das x auf der anderen Seite steht. Zum Beispiel könnte da auch stehen: 3<x oder auch ≤x, das ist egal. Also da sind alle Kombinationen erlaubt, das ist alles richtig, das macht alles Sinn. Das x kann auch auf beiden Seiten stehen, und auf beiden Seiten können auch Zahlen stehen. Also die Ungleichungen können auch wesentlich komplizierter sein. Was machst du, wenn du eine schön komplizierte Gleichung siehst. Da denkst du dann gleich an Äquivalenzumformungen und das funktioniert eben auch bei den Ungleichungen, wie bei den Gleichungen auch, nur mit einer Ausnahme. Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, dann kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Und dass das wirklich so ist, und wie du das verstehen kannst, das möchte mal hier am Zahlenstrahl zeigen. Wir haben zum Beispiel hier die Ungleichung x<2. Die Ungleichung ist richtig, wenn du zum Beispiel für x 1 einsetzt. Und jetzt gucken wir mal, was herauskommt, wenn wir diese Ungleichung mit -1 multiplizieren. Dann steht ja hier -x und hier steht -2. Und wir stellen uns weiter vor, wir setzen hier für x 1 ein. Dann steht hier nicht mehr 1, sondern -1. Die 1 geht also durch die Multiplikation mit -1 hier zur -1 auf dem Zahlenstrahl und die 2 ist dann, wenn wir sie mit -1 multiplizieren = -2. Die geht also nach hier hin. Und dann sehen wir hier, -2 ist nun nicht mehr größer als -1, sondern -2 ist kleiner als -1, denn -2 steht links, von dir aus gesehen natürlich, links von -1 und deshalb ist -2 kleiner als -1. Und du siehst hier, dass das auch richtig ist, dass sich das Ungleichheitszeichen hier umgedreht hat. Du kannst das gerne ausprobieren an allen möglichen Zahlen. Es wird immer stimmen, dass sich das Ungleichheitszeichen umkehrt.

Und ich möchte jetzt noch mal eine Umformung zeigen. Zeigen, wie das dann in der Praxis tatsächlich funktioniert, wenn du eine kompliziertere Ungleichung zu Gesicht bekommst. Ich nehme mal hier: 6x-7≤ 3+14x. Das ist eine Ungleichung. So und was können wir da als Erstes machen? Wir können zum Beispiel rechnen: -14x auf beiden Seiten, dann haben wir hier 6-14x, das sind -8x, -7 bleibt erhalten, ist jetzt ≤3. Und dann können wir noch +7 rechnen auf beiden Seiten. Und das geht auch genauso wie bei den Gleichungen: -8x≤10. Und weil wir jetzt hier das x alleine haben wollen, ohne die -8, müssen wir durch -8 teilen, also: ÷(-8), so schreibt man das richtig hin. Und dann haben wir hier x und jetzt wird das Ungleichheitszeichen umgedreht, es kehrt sich um, sagt man, x soll jetzt ≥-10/8 sein. -10/8 kann man noch kürzen und das ist -5/4, und -5/4=-1,25. Das ist nicht nötig, das immer als Bruch und als Dezimalzahl hinzuschreiben, aber hier habe ich die Möglichkeit und dann zeige ich auch, dass ich das kann. Die Lösungsmenge sieht nun so aus: L= die Menge der rationalen Zahlen, also x Element Q mit der Eigenschaft x≥ -1,25. Und da geht die Mengenklammer zu. Ja, das war es mit den Ungleichungen. Viel Spaß damit. Tschüss.

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19 Kommentare
  1. Imgp5603

    super hilfreich

    Von Yannnik, vor 5 Monaten
  2. Default

    du bist sehr nett und machst gute und verständliche videos!!!EIN GROßESSS LOOOOB!!!Und weiter sooo...\(^0^)/

    Von Alfred 4, vor 10 Monaten
  3. Default

    gut erklärt :D

    Von A Schlechta, vor 11 Monaten
  4. Default

    Vielen dank für die Erklärung
    PS: Ist es auf dauer nicht schwer immer umgekehrt zu schreiben ?

    Von Evangelia C., vor etwa einem Jahr
  5. Felix

    @Marcel Karmann:
    Das Größer-gleich-Zeichen kannst du mit "mindestens" und das Kleiner-gleich-Zeichen kannst du mit "höchstens" gleichsetzen.
    Ein Beispiel: x>=5 bedeutet, dass x mindestens 5 groß sein muss.
    x<=5 bedeutet hingegen, dass x höchstens 5 groß sein muss.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    Gibt es hier keine Übungen oder Erklärungen zu den Ungleichungszeichen? Ich schreibe morgen eine Mathe-Stegreifaufgabe und finde hier keine Hilfe !! Weiß hier jemand etwas über Ungleichungszeichen z.B. über ,,mindestens" oder ,,höchstens"?? :-(

    Von Marcel Karmann, vor mehr als einem Jahr
  2. Felix

    @Tino W.:
    Schau mal einen Kommentar nach unten. Dort steht die Antwort.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  3. 20140221 210750

    Ich habe in der Schule auch gelernt, dass bei der Lösungsmenge "L" kein Doppelter Strich ist. Ist das ein Unterschied oder kann man das aufschreiben wie man will ?

    Von Tino W., vor mehr als einem Jahr
  4. Giuliano test

    @Polifkam:
    Du kannst beides benutzen. Der doppelte Strich kennzeichnet in der Mathematik Zahlenmengen.
    Du kennst sicherlich die Menge der natürlichen Zahlen IN oder die Menge der reellen Zahlen IR. Bei der Menge der ganzen Zahlen ist der diagonale Strich bei dem Buchstaben Z doppelt. Die Menge der rationalen Zahlen kennzeichnet man mit einem Q und einem vertikalen Strich am Anfang.
    Wenn du also die Lösungsmenge bestimmen möchtest, kannst du IL oder L schreiben. Das ist eigentlich egal. Hauptsache ist, dass es einheitlich angewendet wird.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Wir haben in der Schule gelernt das da ein L für Lösungsmenge steht kein Doppel L was ist denn Richtig??

    Von Polifkam, vor fast 2 Jahren
  6. Default

    habs echt gut verstanden

    Von Lea 25, vor mehr als 2 Jahren
  7. Default

    gut erklärt

    Von Teodor S., vor mehr als 2 Jahren
  8. Default

    naja

    Von Benbraun49, vor etwa 3 Jahren
  9. Twin towers

    Das ist wirklich gut erklärt und Lehrer können das nicht besser.

    Von Jim 1, vor etwa 3 Jahren
  10. 92483

    tolles Video :)))))))

    Von Claudia Zanza, vor mehr als 3 Jahren
  11. Default

    Gleich nur mit einem Strich oder zwei

    Von Hermann Koller, vor fast 4 Jahren
  12. Mara

    Jetzt hab ich das endlich verstanden !!! :D

    Von Mara Luisa M., vor etwa 4 Jahren
  13. Default

    in der schule haben wir das so gelernt:
    L{x/x>2}.

    Von Christopher Graxenberger, vor mehr als 4 Jahren
  14. Default

    Guut :)

    Von Sabine Nagler, vor mehr als 4 Jahren
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