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Transkript Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Hallo und willkommen! Es geht um eine Eigenschaft von Vektoren, nämlich um die lineare Unabhängigkeit. Und man hat das so definiert: Die Vektoren, nehmen wir uns mal n, v1, v2 und n Stück, nennt man linear unabhängig, falls Folgendes der Fall ist. Falls folgende Linearkombination (wir stellen uns vor, wir Linearkombinieren diese Vektoren) den Nullvektor ergibt und nur dann möglich ist, wenn diese Vorfaktoren alle 0 sind, dann nennt man diese n Vektoren linear unabhängig. Und das ist eine Kollektiveigenschaft, das bezieht sich also auf alle zusammen und nicht auf einen oder zwei, sondern auf alle zusammen. Kollektiveigenschaft: Es macht keinen Sinn, davon zu sprechen, dass ein Vektor linear unabhängig ist. Das Ganze bezieht sich also auf ein Vektorenkollektiv. Die Frage ist also: Lassen sich diese n Vektoren anders als durch diese einfache Linearkombination (die sind trivial, man nennt sie auch Triviallinearkombination), anders als durch diese Trivialkombination zur Nulllinie linear kombinieren? Wenn die Antwort nein lautet, dann heißen sie linear unabhängig. Also wenn diese Linearkombination zum Nullvektor (das soll der Nullvektor sein) nur möglich ist, wenn diese Vorfaktoren alle 0, dann sind sie linear unabhängig. Und wir gucken uns gleich mal Beispiele an, dann wird das klar. Schauen wir uns mal die kanonischen Vektoren an. Nehmen wir uns also die kanonischen Vektoren im Rn. Die bezeichnet man mit e^->. Das sind solche Vektoren, die diese Form haben, die also nur Nullkomponenten haben bis auf eine, und die hat den Wert 1; davon also n Stück. Im Rn gibt es davon n Stück, je nachdem, an welcher Stelle die 1 steht. Also hier steht die 1 an unterster Stelle. Das wären die kanonischen Vektoren, also die kanonischen Einheitsvektoren. Das liegt daran, die heißen deswegen Einheitsvektoren, weil ihre Länge 1 ist. Der Pfeil, der sie beschreibt, hat die Länge 1. Und jetzt ist die Frage: Sind diese kanonischen Vektoren linear unabhängig? Die Frage bezieht sich also auf das ganze Vektorenkollektiv. Und zur Beantwortung dieser Frage gucken wir uns mal die Linearkombination an und fragen uns, ob wir diese n Einheitsvektoren, diese kanonischen Vektoren, zum Nullvektor linear kombinieren können. Die Frage ist nicht immer so leicht zu beantworten, in diesem Fall aber schon, wie wir gleich sehen werden. Also schreiben wir uns das mal hin, diese Linearkombination. So, jetzt führen wir hier die Multiplikation aus, die skalare Multiplikation, und dann die Addition. Und was kommt heraus? Wir multiplizieren α1 mit der 1 und dann mit den Nullen, das ergibt immer α1. Und dann addieren wir alles. Und was kommt heraus am Ende? Ganz einfach: Der letzte Vektor liefert für die oberen Komponenten des Gesamtvektors keine Beiträge, nur für den Letzten. Und dann sieht das Ergebnis so aus. Und die Frage ist jetzt: Ist es möglich, Komponenten zu finden, die nicht alle 0 sind? (Nur das, da es den Nullvektor gibt.) Die Antwort ist, hier sehen wir es: Das muss selbst der Nullvektor sein, das heißt, alle Komponenten müssen 0 sein. Daraus folgt also: Wenn das der Nullvektor sein soll (und das ist ja unser Ziel, wir möchten gern diese kanonischen Vektoren zum Nullvektor linear kombinieren), dann geht das nur, wenn dieser Vektor, der Vektor dieser Komponenten, dieser Linearkombinationsfaktoren, der Nullvektor ist. Also alle müssen 0 sein. Und das bedeutet, dass diese n Vektoren linear unabhängig sind. Also wir merken uns: Die kanonischen Vektoren sind immer linear unabhängig (unabhängig von der Dimension). Allerdings dürfen wir nur so viele ins Kollektiv aufnehmen, wie es der Dimension entspricht, nicht mehr. Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Nehmen wir die beiden kanonischen Vektoren des R2. Die Frage ist: Sind sie linear unabhängig? Und die Antwort ist: Ja, das wissen wir schon. Aber gucken wir uns das konkret noch mal an. Wollen wir uns mal fragen, ob wir den Nullvektor, außer mit der Trivialkombination, so linear kombinieren können. Und dann rechnen wir das mal aus. Das gibt (α1;α2). Naja, und wenn das der Nullvektor sein soll, dann ist das klar, dass also α1=α2=0 sein müssen. Also dann sind (das wissen wir schon) diese beiden Vektoren linear unabhängig. Ja, gucken wir uns ein weiteres Beispiel an. Nehmen wir uns mal diese beiden hier vor. Wie sieht es damit aus, kann man die zum Nullvektor linear kombinieren, anders als über die Trivialkombination? Das ist Frage, die wir uns jetzt stellen. Ja, jetzt ist es nicht mehr so einfach. Und was wir jetzt machen, ist, dass wir diesen Vektor hier auf die andere Seite bringen. Das geht, wir können genauso rechnen wie mit Zahlen. Wir haben ja für die Vektoren Addition festgelegt und eine skalare Multiplikation. Also nehmen wir den jetzt auf die andere Seite. Hier steht ja nur der Nullvektor. Wenn wir vom Nullvektor diesen Vektor abziehen, dann ergibt sich dieser Vektor. So, die Frage ist jetzt: Gibt es 2 Zahlen, die nicht beide gleichzeitig 0 sind, sodass diese Gleichung erfüllt ist? Und die Antwort sehen wir hier unten in der unteren Zeile. Wir führen mal die skalare Multiplikation aus. Dann ist die Antwort schon in der unteren Zeile zu sehen. So, gut. Wie ist die untere Zeile zu erfüllen? Wie kann 3 × eine Zahl α1 = 0 sein? Nur so, indem α1 (aus der unteren Zeile folgt das also schon) selbst 0 ist. Anders ist es nicht möglich. Wenn α1 aber = 0 ist, dann ergibt sich hier oben, für diese obere Gleichung, dass auch α2=0 ist. Also die Antwort ist: Diese beiden lassen sich nur mit der Trivialkombination, also nur, wenn beide Vorfaktoren 0 sind, zum Nullvektor linear kombinieren. Das heißt, diese beiden Vektoren sind also auch linear unabhängig. Fragen wir uns jetzt als Nächstes (ein weiteres Beispiel), ob diese 3 Vektoren linear unabhängig sind. Dazu schreiben wir uns mal die Linearkombination hin (eine allgemeine) und fragen uns, ob wir eine wählen können, die das Ganze zum Nullvektor werden lässt. So, schauen wir uns das an. Ist das möglich, können wir diese 3 hier irgendwie zum Nullvektor linear kombinieren, anders als über die Trivialkombination? Gut. Ja, die Antwort ist leicht. Vielleicht sieht man es auch. Nehmen wir einfach mal die 2 für α1, für α2 die 3 und für α3 nehmen wir einfach mal -1. So und jetzt können wir mal schauen, was hier herauskommt. Das ist eine Linearkombination. Das ist α1, das ist α2 und das also α3. Das ist eine Linearkombination, die den Nullvektor ergibt und die aber selbst keine Trivialkombination ist. Also die Antwort auf die Frage, ob diese 3 Vektoren linear unabhängig sind, ist nein. Diese 3 Vektoren sind nicht linear unabhängig, sie sind also linear abhängig. Man kann das auch anders ausdrücken und sagen: Mithilfe dieser beiden lässt sich der 3. linear kombinieren. Also diese beiden kann man so linear kombinieren, dass dieser herauskommt. Und das sieht man hier, das wäre die Linearkombination, die diesen hier darstellt.  

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