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Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5)

Hallo, hier ist eine Gleichung und da sind die Äquivalenzumformungen und die sollen jetzt mal zusammenkommen. Wir wollen mit diesen Äquivalenzumformungen die Gleichung lösen. So sagt man das ja, obwohl es nicht ganz richtig ist. Man bestimmt die Lösungsmenge der Gleichung. Die Gleichung lautet: 7-x=5. Warum zeig ich dieses Beispiel? Weil hier einmal neu ist, in jedem Beispiel ist ja wieder was Neues dabei, einmal ist neu, dass man hier quasi 2 gleichgute Möglichkeiten hat, die Gleichung so umzuformen, dass man die Lösungsmenge ablesen kann. Und es kommt eine Multiplikation mit -1 vor. Also, was können wir zunächst mal tun, um diese Gleichung so umzuformen, dass wir sie leichter lösen können? Da ist es praktisch, wenn diese 7 hier einfach verschwinden würde, irgendwie. Dann wäre diese linke Seite schon mal etwas einfacher. Also können wir rechnen -7. Dann steht da, ich setze das jetzt mal an den Anfang, -7 und diese Zahl ist ja positiv, also steht da +7-x= hier kann ich -7 auch an den Anfang setzen, also hier -7 und die 5 ist ja positiv, also +5. Jetzt ist es erst mal komplizierter geworden. Aber wir können ja noch hier das Ergebnis ausrechnen und da auch. Das heißt, wir brauchen eine Termumformung. Wir wissen ja, -7+7=0. Und 0 muss ich gar nicht mehr hinschreiben, denn wenn man irgendwo eine 0 dazu tut, dann ändert sich ja nichts am Ergebnis. Also schreib ich einfach -x hin. -7+5=-2. Und dann steht da das Ergebnis. Ich hab da jetzt eine Termumformung auf beiden Seiten gemacht. Das geht, auf einer Seite wäre es auch gegangen. Aber wenn man das auf beiden Seiten macht, dann ist das natürlich auch eine Äquivalenzumformung. So, und jetzt wollen wir ja nicht wissen, was man für -x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Sondern, wir wollen wissen, was man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Also können wir hier mit -1 multiplizieren. Und das schreibt man so auf: ×-1. Und, dass das geht, das steht hier, denn wir können auf beiden Seiten mit einer Zahl ?0 multiplizieren, also auch mit -1. Und dann schreib ich das einmal ganz ausführlich auf. Wir haben also -1×(-x)=-1×(-2). Hier ist wichtig, wenn du mit dem negativen x multiplizierst, dann muss dieses negative x, also dieses -x, in Klammern geschrieben werden. Genau so hier, wenn du mit -2 multiplizieren möchtest, dann muss diese -2 in Klammern geschrieben werden. Wenn du mit -1 multiplizierst und die 1 vorne steht, dann muss man das nicht. Man hätte auch  zum Beispiel hier das -x nach vorne schreiben können, dann hätte man -x nicht einklammern müssen. Aber wenn man dann mit -1 dann multiplizieren möchte, dann muss man um -1 eine Klammer setzen. Ja, das kann man jetzt noch weiter ausrechnen. Das heißt, man kann wieder eine Termumformung machen. Dann steht hier -1×(-x), -×-=+, und 1×x=x, das heißt hier steht dann x. Und auf der Seite machen wir auch eine Termumformung, nämlich wir können das ja ausrechnen, -1×(-2), wissen wir wieder, -×-=+, 1×2=2, also steht hier 2.
Das heißt also, wir können jetzt dieser Gleichung ansehen, welche Lösungsmenge sie hat. Nämlich, es ist die Menge, die die 2 enthält. Immer, wenn man für x 2 einsetzt ist die Gleichung richtig. Ansonsten ist sie nicht richtig. Da wir von hier nach da alles Äquivalenzumformungen gemacht haben, wissen wir, diese Gleichung hat dieselbe Lösungsmenge wie diese, dieselbe wie diese, dieselbe wie diese, dieselbe wie diese. Und das heißt, wir können hier für x 2 einsetzen, sodass diese Gleichung richtig ist und haben damit auch die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt.
Und jetzt hatte ich schon angekündigt, dass es hier also mindestens 2 gleichgute Möglichkeiten gibt, diese Gleichung zu lösen. Also ich zeige die andere auch: 7-x=5. Und wir können nun +x rechnen auf beiden Seiten. Das geht auch. Also wenn man hier sagt, man kann auf beiden Seiten etwas addieren, also plus rechnen, dann heißt das auch, dass wir das mit Variablen machen können, auch das ist eine Äquivalenzumformung. Das mache ich jetzt, also +x und dann steht hier 7-x+x=5+x. Und jetzt kann ich eine Termumformung machen, denn -x+x ist zusammen 0. Das ist immer so, egal was man für x einsetzt. Deshalb kann ich hier statt 7-x+x einfach hinschreiben 7+0. Aber 7+0=7. Deshalb kommt hier einfach die 7 hin. Auf der anderen Seite bleibt alles, wie es ist, nämlich 5+x. Und jetzt kann man noch die 5 auf die andere Seite bringen, wie man so sagt. Ist nicht ganz richtig, aber sagt man häufiger so. Also, wir können -5 auf beiden Seiten rechnen. Das bedeutet, wir haben hier -5+7 und das haben wir da auch, -5, diese 5 muss ich da abschreiben, dass ist eine +5 und +x auch. Ich hab jetzt wieder die 5 voran gestellt, ich hätte sie auch hinter die 7 schreiben können. Das  ist eigentlich egal. Nicht nur eigentlich, das ist auch wirklich egal, weil sich das Ergebnis dadurch nicht ändert. Jetzt kommt eine Termumformung, wir müssen das noch ausrechnen und das. Nun, -5+7=2, und -5+5=0, das schreibe ich nicht mehr hin, weil 0+x=x ist. Wir haben hier stehen x=2. Und siehe da, es ist die gleiche Gleichung, die wir da auch erhalten haben. Somit können wir ganz entspannt hinschreiben, dass die Lösungsmenge dieser Gleichung die Menge ist, die die Zahl 2 enthält. Und das gilt nicht nur für diese und diese und diese, sondern auch für diese hier, für unsere Ausgangsgleichung. Das ist die Lösungsmenge der Gleichung 7-x=5. Natürlich hätte man das auch raten können, dann wäre man schneller fertig geworden, aber es geht ja um die Methode. Und es geht darum mit dieser Methode irgendwann ganz große und ganz komplizierte Gleichungen ganz einfach lösen zu können. Das ist der Sinn der Sache. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Hallo,

    ich finde es sehr gut, dass die Methodik des Lösens von Gleichungen hier an sehr einfachen Beispielen aufgezeigt wird, lässt sich die aufgezeigte Methodik ja auch auf komplizierte Gleichungen übertragen. Es ist für mich eine sehr gute Wiederholung und Vertiefung. Danke!

    Von Murks, vor fast 5 Jahren