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Transkript Lineare Gleichungen lösen (1)

Hallo! Hier habe ich mal eine Gleichung vorbereitet: 3x+6=10+x und die wollen wir jetzt mal lösen. Vielleicht hast du dir beim Lösen von Gleichungen schon mal gedacht: Es wäre einfacher, wenn die Gleichung einfacher wäre. Klar. Man müsste eine Methode haben, wie man aus einer komplizierten Gleichung eine Einfachere machen kann. Ja und diese Idee ist gar nicht schlecht, die ist sogar richtig gut. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. Und das ist tatsächlich die Art wie man systematisch Gleichungen löst. Man formt eine Gleichung immer wieder in einfachere Gleichungen um, so lange, bis man die Lösung einfach direkt ablesen kann. Natürlich muss man immer darauf achten, dass man Gleichungen erhält, die dieselbe Lösung haben, wie die oberste Gleichung. Solche Gleichungen, die man dann erhält, nennt man übrigens äquivalente Gleichungen. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. Und die Umformungen, mit denen man äquivalente Gleichungen erhält, heißen Äquivalenzumformungen. Und davon gibt es 5, naja es gibt mehr, aber zunächst mal sind hier 5 Äquivalenzumformungen wichtig. 1. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. 2. Man kann auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe subtrahieren. 3. Man kann beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren, dabei darf aber die Zahl aber nicht gleich 0 sein, denn wenn man mit 0 multipliziert, dann kommt ja immer 0 raus und dann ist die Gleichung weg. Das geht nicht. 4. Man kann beide Gleichungsseiten durch dieselbe Zahl dividieren, allerdings darf hier die Zahl auch nicht 0 sein, denn man kann ja nicht durch 0 dividieren. Und 5. man kann eine Termumformung machen. Wenn man zum Beispiel eine Seite der Gleichung, die ja ein Term ist, in einen anderen Term umformt, der ergebnisgleich ist, dann ändert sich die Lösung der Gleichung auch nicht. Und wie das dieser konkreten Gleichung geht, das möchte ich jetzt mal zeigen. Es gibt mehrere Arten, wie du jetzt vorgehen kannst. Ich entscheide mich dafür zunächst mal auf beiden Seiten -x zu rechnen. Wenn du dich für eine andere Möglichkeit entscheidest, ist das auch nicht schlimm. Man kommt meistens schnell zum Ziel und deshalb ist es nicht ganz so wichtig, was du am Anfang machst. Also hier möchte ich auf beiden Seiten -x rechnen. Dann habe hier nur noch 2x stehen, denn 3x-1x ist ja gleich 2x. Hier steht jetzt also noch 2x+6 und auf der anderen Seite steht nur noch 10, denn 10+x-x ist ja zusammen einfach 10. Jetzt kann ich eine Termumformung machen. Ich könnte auch was anderes machen, aber ich möchte mal zeigen, dass die Termumformung hier auch geht. Ich möchte nämlich auf diese Summe hier das Distributivgesetz anwenden, das heißt genauer, ich kann die 2 ausklammern. Dann steht hier noch: 2×(x+3), denn 2×x ist ja 2x und 2×3 ist 6, deshalb kann man diesen Term auch so schreiben und das Ganze ist gleich 10. Jetzt kann ich auf beiden Seiten teilen, die nicht gleich 0 ist. Ich entscheide mich für die 2. 2×(x+3), denn 2×x ist ja 2x und 2×3 ist 6, deshalb kann man diesen Term auch so schreiben und das Ganze ist gleich 10. Die Klammer bleibt übrig und 10/2=5, das ist kein Problem. Ja und jetzt muss ich nur noch auf beiden Seiten -3 rechnen und dann steht hier das x alleine. Dann steht da: x gleich, naja 5-3 das ist 2, x=2. Und die Gleichung hier die ist jetzt so einfach, dass man die Lösung direkt sieht: x=2. Und weil wir ja jetzt Äquivalenzumformungen angewendet haben, wissen wir diese Gleichung hat dieselbe Lösung wie diese, die hat dieselbe Lösung wie die, wie die, wie die. Das heißt, hier oben in die komplizierte Gleichung können wir auch für x 2 einsetzen und dann ist die Gleichung richtig. Wir können es eben nachrechnen: 3×2=6+6=12, 10+2=12. Richtig, wir haben richtig gerechnet. Ja das ist die Form, wie man Gleichungen löst. Die systematische Art Gleichungen zu lösen. Und das möchte ich jetzt noch mal anschaulich zeigen. Jetzt komme ich mal zu diesem Ding, was hier schon die ganze Zeit rumsteht. Das ist eine Gleichungswaage, nicht wahr. Ich kann hier noch so einen Zeiger anheften. Du siehst hier, nicht, das ist so eine Wippe. Ich kann hier was drauflegen, dann ist die Gleichung von dir aus gesehen links schwerer, als rechts. Ich kann auch hier einen gleichschweren Klotz drauflegen und dann ist die Wippe wieder im Gleichgewicht. Die Gleichungswaage ist im Gleichgewicht. Und ich kann auch hier auf beiden Seiten noch mal was dazu tun, so. Dann sind hier jeweils 2 Klötze drauf und die sind beide gleich schwer. Jetzt habe ich hier noch Minusbereichen, nicht wahr. Wenn ich jetzt hier zum Beispiel einen Klotz in den Minusbereich lege, hier, dann schlägt die Waage in den Minusbereich aus, denn schlägt die Waage nach links aus, denn 2 haben wir hier und hier haben wir 2-1 und 2-1 ist ja leichter, als 2 und deshalb schlägt die Waage hier nach links aus. Die Äquivalenzumformungen kannst du dir jetzt so vorstellen, ich habe hier mal ein x vorbereitet. Das ist ein x und da tue ich jetzt 2 Klötze rein. Also x=2 oder 2=x, ist egal. Gerade hatten wir x=2. Und die Gleichung möchte ich jetzt hier mal nachstellen. Ja, es ist jetzt völlig klar, man muss jetzt für x 2 einsetzen, damit die Gleichung richtig ist. Und diese Äquivalenzumformungen kann man jetzt auch direkt sehen. Wir können zum Beispiel beide Seiten mit 3 multiplizieren. Das ist etwas anders, als das, was ich gerade gemacht habe, aber ich möchte einfach mal zeigen, wir können einfach hier Äquivalenzumformungen machen und die Lösung der Gleichung ändert sich nicht. Hier habe ich jetzt mit 3 multipliziert und dann muss ich das jetzt hier auch machen. Und dann ist die Gleichung wieder im Gleichgewicht. Ja, wenn ich das wegnehme, dann ist sie nicht im Gleichgewicht. Ich habe beide Seiten verdreifacht, das ist ok. Ich kann auch auf beiden Seiten was abziehen. Was nehme ich da mal? Ach, ich könnte x abziehen, zum Beispiel. Hier habe ich noch ein x. Hier kommt jetzt auch eine 2 rein. Ich kann auf beiden Seiten -x rechnen und dann kommt hier das beides mal in den negativen Bereich. Da, ja und dann, wenn ich das vorsichtig genug mache, ändert sich auch gar nichts an der Gleichung. Du siehst das. Das Gleichgewicht bleibt erhalten. Wenn ich das nur an einer Seite machen würde, dann bleibt das Gleichgewicht nicht erhalten, da. Eine Termumformung kann ich auch zeigen. Hier haben wir 3x-1x, das ist 2x, +2x. Da sind die beiden x und du siehst am Gleichgewicht hat sich auch nichts verändert. Ja und jetzt kann man zum Beispiel auch auf beiden Seiten teilen durch 2. Das mache ich mal zunächst hier. Das sind ja 6 Steine, wenn ich durch 2 teile, bleiben 3 übrig. Hier sind 2x, wenn ich durch 2 teile, bleibt 1 übrig. Ja und hier habe ich noch 1x, also -1x, und das muss ich auch durch 2 teilen und das habe ich hier mal vorbereitet. Das ist ein ganzes x ja, und ein halbes x. Und wenn in dem ganzen x 2 Steine drin sind, dann kommt in das halbe x nur noch 1 Stein rein. Und dann ist die Gleichung wieder richtig. Ja, da, jetzt ist die Gleichung richtig. So kann es gehen. Das sind die Äquivalenzumformungen. Hier noch mal anschaulich dargestellt. Und das ist die Art und Weise, wie du ganz viele Gleichungen systematisch und schnell lösen kannst. Viel Spaß damit und tschüss!

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28 Kommentare
  1. Felix

    @Judithroux:
    Du kannst das Ausklammern auch weglassen, wenn du die Gleichung anders umformst:
    Ziehst du bei der Gleichung 2x+6=10 jeweils 6 auf beiden Seiten ab, dann erhältst du 2x=4. Jetzt durch 2 geteilt und du bekommst x=2.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Ahhhhhhhaaaaa!!!!!! Jetzt verstehe ich es:

    Von Judithroux, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Kann man das ausklammern auch weglassen oder muss man das machen????

    Von Judithroux, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    ist ok thanks :-)

    Von Deleted User 252659, vor mehr als einem Jahr
  5. Sarah2

    @Ceren B: An der von dir genannten Stelle wird nichts von mal 2 gesagt/geschrieben. Vielleicht meinst du eine andere Stelle? Wende dich mit deiner Frage am besten an den Mathe-Fachchat, der täglich von 17 bis 19 Uhr online ist. Dort bekommst du am schnellsten eine Antwort!

    Von Sarah Kriz, vor fast 2 Jahren
  1. Larryyyyyyyyyyy

    03:37 warum mal 2? :o

    Von Larry S., vor fast 2 Jahren
  2. Sarah2

    @ Jakob K.: Es gibt immer mehrere Möglichkeiten, Gleichungen zu lösen. Deine Variante ist natürlich auch richtig.

    Von Sarah Kriz, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Wieso nicht einfach:
    3x + 6 = 10 + x | - 6
    3x = 4 + x | - x
    2x = 4 | : 2
    x = 2
    ?
    So wäre es viel logischer und einfacher.

    Von Deleted User 239379, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Meine Lehrerin hat das aber anders erklärt. Deine Rechnung hat mich zwar nicht verwirrt, aber man kommt immer auf das gleiche Ergebnis wie bei dir.
    trotzdem vielen Dank
    =)

    Von Mauricio Carvalho, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    sehr gut gemachtund richtig tolle idee!!!

    Von Vecesrossio, vor mehr als 2 Jahren
  6. Giuliano test

    @Ewadderr:
    Wir wenden die Zeitleistenkommentare nicht mehr an. Weder der Tutor, noch der Schüler kann hier mehr eingreifen.
    Wenn du eine konkrete Frage hast, kannst du hier in den Kommentaren die Minuten- und Sekundenzahl nennen und deine Frage stellen.
    Bsp: 4:53 Warum durch 2 teilen?
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  7. Default

    wie kann man ein kommentar ins viedeo reinmachen

    ?

    Von Ewaldderr, vor mehr als 2 Jahren
  8. Default

    und durchdacht

    Von Carsten W., vor fast 3 Jahren
  9. Default

    sehr gut gemacht

    Von Carsten W., vor fast 3 Jahren
  10. Default

    gut gemacht

    Von Leon007, vor fast 3 Jahren
  11. Default

    Super jetzt habe ich es verstanden!

    Von Mlds Warnebold, vor mehr als 3 Jahren
  12. Default

    meine mathe lehrerin kann das nicht so gut erklaeren!!!!
    respekt

    Von Lfw0210, vor mehr als 3 Jahren
  13. Default

    Ich finde das super, mit der Bemerkung:"..das Distributiv-Gesetz anwenden.."
    So lernt man auch die Begriffe kennen.

    Von Uwe Fuhrmann, vor fast 4 Jahren
  14. Default

    Tausendmal danke! :-D

    Von Michelle R., vor fast 4 Jahren
  15. Default

    Ich schreib morgen ne Schulaufgabe über Gleichungen! :( Kein Bock aber ich kann's wegen dem Hr. Martin Wabnik, Danke! Mein Lehrer in der Schule kann einfach nicht erklären...

    Von Benedikt K., vor fast 4 Jahren
  16. Sofatutor   profilbild   1

    Danke jetzt kenne ich mich besser aus. Schulaufgabe ich komme :D

    Von Joana Follmer, vor fast 4 Jahren
  17. Default

    jetzt hab ich es endlich verastanden :)

    Von 98katharina98, vor etwa 4 Jahren
  18. Default

    super erkärt :)

    Von Artagnan, vor fast 5 Jahren
  19. Default

    das video ist super

    Von Moserc@Hispeed.Ch, vor fast 5 Jahren
  20. Photo%20on%2011 30 11%20at%204.44%20pm%20%234

    Das hilft so viel! Danke!

    Von Jess H., vor fast 5 Jahren
  21. Default

    er erklärt es mir ohne mich durcheinander zu bringen

    Von Alex97, vor etwa 5 Jahren
  22. Sonnenuntergang

    mein lehrer kann das alles nich so gut erklären... er erzählt eine dreiviertelstunde von einem thema- man versteht nihts. hier sieht man sich 10 min. einen film an und begreift was der typ an der tafel eigentlich von einem will... super!

    Von Hallomm, vor fast 6 Jahren
  23. Default

    Die erklährungen hir sind super man versteht sie sehr gut!

    Von Euromaster, vor etwa 6 Jahren
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