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Lineare Funktionen 06:17 min

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Transkript Lineare Funktionen

Linearen Funktionen, dass sind gewissermaßen die einfachsten Funktionen die es gibt und die beschreiben auch viele Vorgänge aus unserem täglichen Leben sehr gut und wir wollen uns jetzt einmal anschauen, wie man diese darstellen kann und was sie so für Eigenschaften haben. Woher kommt so eine lineare Funktion? Betrachten wir einmal ein Auto, das mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/h fährt. Wir beobachten das Auto ab einem bestimmten Zeitpunkt und messen dann jeweils, wie viel Strecke es innerhalb einer Stunde zurückgelegt hat. Wir sehen pro Stunde kommen 50 km dazu, klar eigentlich, den das Auto fährt ja 50 km/h. Aber genau das macht eine lineare Funktion aus, in gleichen Zeitabständen kommen gleiche Strecken hinzu. So das tragen wir jetzt einmal in ein Koordinatensystem ein und zwar tragen wir die Strecke in der Abhängigkeit von der Zeit ein. Tragen wir die Punkte aus der Wertetabelle ein und verbinden sie, entsteht eine Gerade. Dies ist die 2. wichtige Eigenschaft linearer Funktionen. Wie können wir jetzt die Strecke aus der Zeit genau berechnen? Haben wir eine Zeit gegeben, zum Beispiel 1,5 Stunden, dann brauchen wir diese nur mit 50 multiplizieren und erhalten dann die entsprechende zurückgelegte Strecke. Also 75 km. Also ist die Bildungsfortschrift für die Funktion Strecke = 50 x Zeit. Ganz allgemein sieht eine lineare Funktion immer so aus: y=m×x+b. Das m heißt Steigung der linearen Funktion und zeigt an, um wie viel man sich in der y- Achse nach oben bewegt, wenn man auf der x-Achse ein Schritt nach rechts geht. Bei uns also 50, m=50. Unsere Funktion hat also die Gestalt: y=50×x+b. Das b heißt y-Achsen-Abschnitt und zeigt an wo die Gerade die y-Achse schneidet. Bei uns ist also b=0. Die Gerade passt also genau zu der Funktion die wir uns vorher überlegt haben. Hätten wir aber die Messungen an unserem Auto erst begonnen, als es schon 20 km zurück gelegt hat, wäre diese Wertetabelle entstanden. Trotzdem wäre in jeder Stunde die gleiche zurückgelegte Strecke  hinzugekommen, nämlich 50 km. Zum 50-fachen der Zeit müssten wir also jedes Mal noch die 20 km addieren, um die entsprechende Strecke zu erhalten. Die Grafik würde so aussehen: Wir schauen uns die y-Werte zweier benachbarten Punkte an, ziehen sie voneinander ab und erhalten m. Wie sehen m=50. Das grüne Dreieck heißt übrigens Steigungsdreieck. Und den y-Achsenabschnitt lesen wir hier unten ab. Eine lineare Funktion kann auch negative Steigung haben, dies druckt sich dadurch aus, dass die dazugehörige Gerade fällt. Hier nehmen wir die Funkton -4x+10. Für jeden Schritt nach rechts geht sie um 4 nach unten. Auch das ist eine lineare Funktion, ihre Steigung ist nur versteckt. Tragen wir sie in das Koordinatensystem ein, können wir das leicht nachprüfen. Für jeden Schritt nach rechts geht sie nämlich gar nicht, also 0 nach oben. So eine Funktion heißt konstante Funktion. Ein sehr häufiges Problem ist folgendes: man hat die Koordinaten zweier Punkte gegeben, die auf einer Gerade liegen, bzw. zu einer linearen Funktion gehören und nun möchte man wissen, wie die Bildungsvorschrift für diese Funktion ist. Wir nehmen die Punkte 1 / 1 und 3 / 5, dann tragen wir das Steigungsdreieck ein, dessen Seiten wir durch die Differenzen der x-Werte bzw. der y-Werte ausrechnen können. Die Steigung m tragen wir an dem kleinen Steigungsdreieck ein. Der Strahlensatz sagt nun, das sich die Seiten des großen Dreiecks, wie die Seiten des kleinen Dreiecks verhalten, also wie m zu eins, also wie m. m=2, und wie bekommen wir b raus? Wir schreiben die allgemeine Gleichung für die Funktion noch mal hin, y=m×x+b. In diese Gleichung können wir jeden Punkt einsetzen, der auf der Geraden liegt.  Also z.B. Q, und das m, das kennen wir auch schon. Jetzt stellen wir bloß noch nach b um und erhalten: b=-1. Die gesuchte Funktion hat also die Gleichung y=2x-1. Zur Probe setzten wir beide Punkte die wir gegeben hatten, noch einmal in die Gleichung ein. Und wir haben uns nicht verrechnet. Noch mal allgemein: Was haben wir mit unseren 2 Punkten gemacht? Wir haben mithilfe der Differenz der y-Werte und der x-Werte aus dem Steigungsdreieck m bestimmt. m=y2-y1/x2-x1. Dann setzten wir in die allgemeine Funktionsgleichung ein Punkt ein, den wir gegeben haben und die gerade berechnete Steigung, das lässt sich dann einfach nach b umstellen. b=y2-m×x2 und zum Schluss, wie immer noch ein kleiner Hinweis: eine lineare Funktion kann auch anders aussehen, so z.B, das sieht auf den ersten Blick nicht aus wie eine lineare Funktion, ist aber eine. Man braucht sie nämlich nur mit elementaren Umformungen nach y umstellen. So das wars und ihr könnt ja mal schauen, wo ihr im Alltag sonst noch eine lineare Funktion findet.

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46 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Cupcake99,

    welche Stelle im Video meinst du?

    Von Steve Taube, vor 17 Tagen
  2. Default

    bei*

    Von Tanzi Cupcake99, vor 17 Tagen
  3. Default

    Wie kommt man denn jetzt auf 3 bie x??

    Von Tanzi Cupcake99, vor 17 Tagen
  4. Default

    sehr erständlich

    Von Cburghaus, vor 6 Monaten
  5. Image

    dieses video hat bei mir 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000sterne verdient

    Von Mohamed J., vor 7 Monaten
  1. Default

    danke

    Von Arbenhas, vor 8 Monaten
  2. Th

    Jo ganz hilfreich danke :D

    Von Vali Lucifer, vor 8 Monaten
  3. Default

    danke sehr tolle Erklärung hat mir sehr sehr sehr weitergeholfen

    Von Arbenhas, vor 9 Monaten
  4. 0285ml baerchenglas

    gut eklärt danke

    Von Christopher S., vor 10 Monaten
  5. Default

    wisst ich schon

    Von Paulosanguino, vor etwa einem Jahr
  6. Default

    Danke, für die tolle Erklärung hat mir sehr geholfen ^^

    Von Oliver S., vor etwa einem Jahr
  7. Default

    spaß

    Von Veit Robin, vor mehr als einem Jahr
  8. Default

    super gemacht

    Von Justin G., vor mehr als einem Jahr
  9. Screenshot 2015 10 03 21 22 53 1

    danke hat mir sehr geholfen

    Von Jennifer Smolka, vor mehr als einem Jahr
  10. Kakashi  s mangekyo sharingan by darkuchiha7 d46rgw1

    Das Video hat Von MIR * * * * * * * * * * * ** * * * * * ** STERNE verdient da es super erklärt wurde

    Von Mikoenig1, vor mehr als einem Jahr
  11. Default

    Super, jetzt verstehe ich es! Dankeschön!

    Von User131341, vor mehr als einem Jahr
  12. Default

    sehr gut hat sehr geholfen

    Von Inespaty, vor mehr als einem Jahr
  13. Default

    Gutes Video. Perfekt Verstanden! :D

    Von Ps2001, vor fast 2 Jahren
  14. Bewerbungsfoto

    Hallo Ngan075,

    ja, auch die Schreibweise y = m*x + t ist üblich.

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Jahren
  15. Default

    viel zu schnell

    Von Ngan075, vor etwa 2 Jahren
  16. Default

    kann die allgemeine Formel auch so aussehen: y=m*x+t ?

    Von Ngan075, vor etwa 2 Jahren
  17. Default

    Sry, aber das ist viel zu schnell

    Von Ho Me28681, vor etwa 2 Jahren
  18. Default

    Gute Erklärung

    Von Robin B., vor etwa 2 Jahren
  19. Default

    ich habs nicht so verstanden aber sonst gut:)

    Von Lisa Marie Woerner, vor mehr als 2 Jahren
  20. Default

    Ich fande es hilfreich das video ich wünsche mir noch mehr von dir :) :) :) :) :)

    Von Nicole Caggiano, vor mehr als 2 Jahren
  21. Bewerbungsfoto

    Hallo Larita,
    ich habe das Steigungsdreieck eingezeichnet und möchte nun die Längen seiner Kanten berechnen (daraus kann ich nämlich danach die Steigung, also das "m" berechnen). Die Länge der Kanten muss ich mir aus den Koordinaten der gegebenen Punkte berechnen: Der obere Punkt hat die y-Koordinate 5, der untere hat die y-Koordinate 1. D.h. wenn ich eine waagerechte Linie von dem Punkt zur y-Achse ziehe, dann schneidet diese Linie die y-Achse bei 5 bzw. 1. Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte (auf der y-Achse) ist genau der rechten Kante meines Dreiecks, nämlich 4 = 5 - 1. Genauso berechne ich die Länge derunteren Kante. Der obere Punkt hat den x-Wert 3, der untere den x-Wert 1. Wenn ich (zur y-Achse parallele) Linien von den Punkten zur x-Achse ziehe, dann schneiden diese die x-Achse bei 1 und 3. Wenn man diese Schnittpunkte verbindet, erhält man eine Strecke, die die gleiche Länge hat wie die untere Kante meines Dreiecks, nämlich 2 = 3 - 1 Längeneinheiten.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  22. Default

    Also hier komm ich nicht mit. Warum jetzt 5-1 und 3-1?

    Von Larita Roeper, vor mehr als 2 Jahren
  23. Default

    Wo ist denn der Fach-Chat wo man Fragen stellen kann?

    Von E Petychakis, vor fast 3 Jahren
  24. Default

    Okay das Ende is ein bisschen verwirrend aber sonst is das eigentlich ganz gut erklärt! :)

    Von Stella*~*, vor fast 3 Jahren
  25. Default

    supii erklärt!!.....habs jez auch verstanden

    Von Gesine Fechner, vor etwa 3 Jahren
  26. Default

    wo ist dieser mathe chat?

    Von Prayer Koesters, vor etwa 3 Jahren
  27. Default

    jetzt hab ich es auch kapiert :)

    Von Silke 6, vor etwa 3 Jahren
  28. Bumblebee camaro 2010 rs by lizkay

    Verstehe ich immernoch nicht ganz

    Von Stefan H H., vor etwa 3 Jahren
  29. Default

    nie verstanden doch jetzt schon DANKE

    Von Birgit D., vor etwa 3 Jahren
  30. Default

    gut erklärt!!

    Von Birgit D., vor etwa 3 Jahren
  31. Crazy frog

    GUT ERKlärt . Eigentlich hatte ich es schon verstanden, aber trotzdem. Kompliment.

    Von Ffelix, vor etwa 3 Jahren
  32. Default

    Gut erklärt !

    Von Luky Pictures, vor mehr als 3 Jahren
  33. Default

    Das Video ist richtig gut und ich wusste zwar schon davor was das ungefähr ist aber jetzt hab ichs richtig gut verstanden!!!!

    Von Luise 4, vor fast 4 Jahren
  34. Default

    Danke!Echt gut erklärt.

    Von Samsam87, vor etwa 4 Jahren
  35. Necklace display1

    VERSTANDEN :D !

    Von Jehona I., vor etwa 4 Jahren
  36. Default

    Ist lineare Funktion dasselbe wie proportionale Funktion?

    Von Jong Duk Park, vor etwa 4 Jahren
  37. Default

    ich check das nicht :/

    Von Sami24143, vor etwa 4 Jahren
  38. Rob

    Wir bieten dir den kostenlosen Mathe-Chat von Montag bis Freitag von 17 bis 19 Uhr an. Der Mathe-Chat steht allen Nutzern des 1-Jahres-Paketes und des 6-Monats-Paketes zur Verfügung.

    Von Robert S., vor fast 5 Jahren
  39. Sonnenuntergang

    wo ist der mathe chat ???

    Von Bellaliora123, vor fast 5 Jahren
  40. Default

    ich check nicht was x ist:((

    Von Gina Bachmann, vor fast 5 Jahren
  41. Bw

    sehr gut erklärt. Danke dir, es hat mir echt geolfen :D

    Von Lars H., vor mehr als 5 Jahren
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