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Transkript Lineare Funktion aus Punkt und Nullstelle bestimmen

Mit Nullstelle und Punkt lineare Funktionsgleichung bestimmen und Funktionsgraphen zeichnen

Elsa möchte sich mit Inga verabreden. Elsa sitzt aber noch an ihren Mathe-Hausaufgaben und weiß nicht weiter. Ihre Aufgabe ist es aus der Nullstelle X Null gleich eins und dem Punkt Q 2 und 2 den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen und die Funktionsgleichung rechnerisch zu bestimmen.

Sie überlegt nun schon eine ganze Weile, aber weiß einfach nicht, wie sie die Aufgabe lösen soll. Helfen wir ihr doch dabei, damit sie sich mit Inga treffen kann.

Bevor wir jedoch Elsa bei ihren Hausaufgaben helfen, wiederholen wir noch einmal kurz lineare Funktionen mit ihrer Funktionsgleichung und den dazugehörigen Funktionsgraphen. Danach schauen wir uns an, wie man einen Funktionsgraphen mit Nullstelle und Punkt zeichnen kann und anschließend wie man die Funktionsgleichung aus der Nullstelle und einem Punkt berechnen kann. Dann helfen wir Elsa bei ihren Hausaufgaben. Am Ende fassen wir das Wichtigste nochmal zusammen.

Wir starten mit der Wiederholung. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist im Allgemeinen y ist gleich m mal x plus b. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion kann zum Beispiel so aussehen. m wird auch als Anstieg oder Steigung bezeichnet und beschreibt, ob der zugehörige Graph von links nach rechts verlaufend steigt oder fällt.

Der Graph fällt, wenn m negativ ist. Das kannst du hier sehen. Wenn der Graph steigt, dann ist m positiv. Das Absolutglied b gibt den y-Achsenabschnitt groß Y mit Null und b an.

Ein weiterer markanter Punkt des Graphen ist die so genannte Nullstelle X Null. Dies ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet. Dieser Schnittpunkt wird meist mit groß N mit x Null und 0 angegeben.

Haben wir eine Nullstelle und einen beliebigen weiteren Punkt des Funktionsgraphen einer linearen Funktion gegeben, können wir daraus den Graphen in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Gegeben sind zum Beispiel die Nullstelle groß N mit drei und Null und der Punkt Q mit eins und zwei. Nun suchen wir den Funktionsgraphen. Wir tragen zunächst die beiden Punkte in das Koordinatensystem ein. Den Punkt N zeichnen wir bei x gleich drei und y gleich Null ein, also hier. Der Punkt Q ist bei x ist gleich eins und y ist gleich zwei, also hier. Die Gerade durch die beiden Punkte Q und N liefert uns den Funktionsgraphen. Jetzt gibt es neben dem Graphen auch die Möglichkeit die Funktionsgleichung zu berechnen.

Wir kennen die beiden Punkte N mit drei und Null und Q mit eins und zwei. Wir suchen die Funktionsgleichung mit der Form y ist gleich m mal x plus b. Wir suchen nun den Ansteig m und den y-Achseabschnitt b. Den Anstieg m können wir mit der so genannten Punktsteigungsformel ermitteln. m ist gleich y zwei minus y eins durch x zwei minus x eins.

In unserem speziellen Fall berechnet sich m aus y Q minus yN durch xQ minus xN. Setzen wir die entsprechenden Werte ein, ergibt dies: 2 minus 0 geteilt durch 1 minus 3, also -1. Der Anstieg unserer Funktion ist also -1.

Nun benötigen wir noch den Wert des y-Achsenabschnitts b. Wir setzen m in die Funktionsgleichung ein und erhalten y ist gleich minus eins mal x plus b. Um b bestimmen zu können, müssen wir den x- und y-Wert eines Punktes des Funktionsgraphen in die Gleichung einsetzen und nach b auflösen. Wir können hier N oder Q wählen.

Der Einfachheit halber nehmen wir N, weil hier der Y-Wert 0 ist. Wir erhalten Null ist gleich minus eins mal 3 plus b. Wenn wir auf beiden Seiten drei addieren, erhalten wir b ist gleich 3. Die Funktionsgleichung lautet also y ist gleich minus x plus 3.

Kommen wir nun zur Hausaufgabe von Elsa zurück. Wir kennen die Nullstelle X Null ist gleich eins also N mit eins und Null. Außerdem kennen wir den Punkt Q mit zwei und zwei.

Zunächst wollen wir gemeinsam den Funktionsgraphen zeichnen. Dazu zeichnen wir die Punkte N mit eins und Null und Q mit zwei und zwei in das Koordinatensystem ein. Die Gerade durch die beiden Punkte N und Q liefert uns schließlich den Funktionsgraphen. Des weiteren ist noch die Funktionsgleichung gesucht. Wir suchen also wieder nach dem Anstieg m und dem y-Achsenabschnitt b.

Um m zu berechnen, können wir, wie eben, die bekannte Punktsteigungsformel verwenden. Wir setzen die Koordinaten der Punkte N und Q in diese Formel ein. Dann erhalten wir m ist gleich zwei minus Null durch zwei minus eins. Also ist m gleich 2.

Nun fehlt uns noch b. Zuerst setzen wir m in die Funktionsgleichung ein und erhalten y ist gleich zwei mal x plus b. Jetzt setzen wir N mit x gleich 1 und y gleich Null ein. Wir erhalten 0 ist gleich zwei mal eins plus b. Wenn wir auf beiden Seiten zwei subtrahieren erhalten wir schließlich b ist gleich minus zwei. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also y ist gleich 2 mal x minus zwei.

Jetzt fassen wir das Gelernte zusammen. In diesem Video haben wir Elsa bei ihren Hausaufgaben geholfen. Wir haben mit Hilfe der Nullstelle N eins und Null und einem weiteren Punkt Q zwei und zwei den Graphen der linearen Funktion gezeichnet und mit Hilfe der Punktsteigungsformel die Funktionsgleichung 2 mal x minus 2 bestimmt.

Am Ende konnten wir Elsa erfolgreich bei ihren Hausaufgaben helfen. Jetzt hat sie Zeit für ihre Freundin Inga.

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2 Kommentare
  1. Default

    Super Video echt jetzt! hat mir sehr geholfen

    Von Al Allan W., vor etwa einem Jahr
  2. Img 3745

    Super Video, habe es jetzt endlich verstanden!

    Von Olivia A., vor etwa einem Jahr