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Transkript Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³

Hallo! Wir sind im dreidimensionalen Raum - sowieso, aber jetzt auch in Gedanken hier in dieser Aufgabe. Es sind 3 Vektoren gegeben, und wir möchten wissen, ob diese 3 Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Das kann man abkürzen mit linear abhängig oder linear unabhängig (l.a.o.l.u.) - das berühmte LAOLU-Problem. So, und ich möchte am Anfang hier eben kurz zeigen, wie man das rechnen kann, und danach erkläre ich noch ein bisschen was dazu.   Also, wir wissen: Diese 3 Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn eine Linearkombination dieser Vektoren nur dann gleich dem Nullvektor ist, wenn alle Koeffizienten vor diesen Vektoren gleich 0 sind. Das ist der Satz dazu. Da muss man einmal um die Ecke denken. Das muss man sich nicht jedes mal neu überlegen, denn man kann diesen Satz in eine Handlungsanweisung übersetzen. Oder klarer gesagt, wenn jetzt Schüler fragen: "Was muss ich machen?" Jetzt kommt die Erklärung dazu - was du machen musst: Du schreibst diese 3 Vektoren hier hintereinander, setzt eben 3 Variablen davor, dann ist das hier eine Linearkombination, was hier steht. [Und da kommen Pluszeichen dazwischen, das habe ich noch vergessen.] Hier kommt der Nullvektor hin. Das Ganze ist jetzt zeilenweise gelesen ein Gleichungssystem. [Das sieht so aus, hier übrigens.] So, und wenn dieses Gleichungssystem eine einzige Lösung hat, die darin besteht, dass t, s und r alle gleich 0 sind. Das heißt, wenn hier 0; 0; 0 rauskommt, dann sind diese 3 Vektoren linear unabhängig. Wenn da etwas anderes rauskommt, dann sind sie linear abhängig. So einfach ist das. Gleichungssystem lösen; gucken, ob alles 0 ist - wenn ja, linear unabhängig; wenn nein, linear abhängig. Das ganz reduziert gesagt.   So, das habe ich jetzt hier also gemacht. Das heißt, wir schreiben diese Sache hier also zeilenweise auf. Also: r×(-1)+s×1+t×3=0 [Hier steht ja der Nullvektor, also (0, 0, 0).] 2. Zeile ist r×3+s×(-15)+t×11=0. Und so weiter, die 3. Zeile lese ich nicht vor. Das kannst du hier lesen. So. Was habe ich gemacht? Ich habe dieses Gleichungssystem jetzt mit dem Gaußalgorithmus umgeformt, oder man sagt eben auch "Additionsverfahren". Ich sage kurz, was ich gemacht habe: Wir wissen ja, die Lösungsmenge eines Gleichungssystems ändert sich nicht, wenn man erstens Gleichungen mit Zahlen multipliziert die ungleich 0 sind. Und zweitens ändert es sich auch nicht, wenn man Zeilen addiert. Das habe ich hier gemacht. Und zwar habe ich die 1. Zeile mit 3 multipliziert, und dann zur 2. Zeile hinzuaddiert. Daraus entsteht die neue 2. Zeile. [Die 1. Zeile habe ich hier abgeschrieben.] Wenn man die 1. Zeile mit 3 multipliziert und zur 2. hinzuaddiert, dann steht hier: -3r+3r [deshalb steht hier nichts]; 3s+(-15)s sind -12s; und so geht das dann weiter ... 3t×3 sind 9t ... +11t sind 20t [das steht hier in der 2. Zeile]. Und hier ändert sich nichts. In der 3. Zeile fast das Gleiche, nur habe ich hier die 1. Zeile mit ... [Was habe ich denn gemacht? Mit -2 multipliziert!] Wenn ich die 1. Zeile mit -2 multipliziere, dann steht statt -r nämlich +2r. Wenn ich das zur 3. Zeile addiere, steht hier dann 0, weil +2r und -2r zusammen 0 sind. Deshalb steht hier in der 3. Zeile gar nichts. -2×s+8s sind 6s. Und -2×3t sind -6t und -2t dazu sind -8t. So ist diese 3. Zeile hier entstanden. Und mit den beiden Zeilen habe ich das dann noch mal gemacht. Die 1. Zeile habe ich hier wieder abgeschrieben. Die 2. Zeile habe ich auch abgeschrieben. Und dann habe ich die 2. Zeile mit ½ multipliziert und zur 3. Zeile addiert - daraus ist diese 3. Zeile entstanden. Wenn man -12s mit ½ multipliziert, stehen dann noch -6s. Wenn ich die dann zu den 6s hinzuaddiere, steht hier nichts, also eine 0. Wie auch immer, also hier steht nichts. Und dann, wenn man das hier macht, dann kommen da 2t raus. So, das zu dieser Gleichungssystemumformung. Und wenn das hier so steht, und hier 0en stehen, dann sind wir fertig. Eigentlich. Denn wir wissen, 2t kann nur dann 0 sein, wenn t=0 ist. t=0 kann ich in die obere Gleichung, also in die 2. Gleichung von oben, einsetzen. Da steht jetzt 20×0 - das ist 0 - bleibt noch -12s=0. -12s ist nur dann gleich 0, wenn s=0 ist. [Bitte.] Dann kann ich für t und 2 hier oben in der 1. Zeile 0 einsetzen. -r ist nur dann gleich 0, wenn r=0 ist. Damit haben wir hier gezeigt, dieses Gleichungssystem hier oben ist nur dann richtig, wenn alle Koeffizienten r, s und t 0 sind. Und deshalb sind diese 3 Vektoren linear unabhängig.   So, und dann möchte ich noch auf die andere Methode eingehen. [Das kommt erst mal weg.] Wenn wir die andere Definition der linearen Unabhängigkeit oder linearen Abhängigkeit verwenden wollen, dann müssen wir auf eine Sache aufpassen, und die möchte ich eben kurz anschaulich zeigen. Wir können also von folgender Situation ausgehen: Wir haben eine Menge von Vektoren gegeben und diese Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn irgendeiner dieser Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist. Wenn wir jetzt unsere 3 Vektoren hier gegeben haben, dann könnten wir natürlich 2 Vektoren heraussuchen, die linear kombinieren - das habe ich hier gemacht. Und dann sollte der 3. Vektor herauskommen. Also, wenn das möglich ist, dann sind diese 3 Vektoren linear abhängig. Und jetzt kommt der Fehler meistens rein, bei vielen, die dann sagen: "Na gut, wenn das jetzt nicht möglich ist, dann sind die linear unabhängig." Und das stimmt eben nicht. Und ich möchte noch mal anschaulich zeigen, wie man das verstehen kann, dass das nicht unbedingt gilt: Wir haben 3 Vektoren in unserem dreidimensionalen Raum. Es könnte Folgendes passieren: Der pinkfarbene Vektor und der grüne Vektor liegen auf einer Geraden. Das heißt, sie sind Vielfache voneinander, zeigen also in dieselbe Richtung. Und der orangefarbene Vektor ist irgendwo hier, ist völlig egal. Dann passiert nämlich Folgendes: Wenn wir hier den grünen haben und hier den pinkfarbenen Vektor, dann kommt niemals der orangefarbene Vektor raus. Denn immer wenn wir die beiden hier irgendwie linear kombinieren, dann bleiben die auf ihrer Geraden. [Sie können auch so sein. Sie können auch da hingehen. Aber sie bleiben immer hier auf dieser Geraden.] Und die kommen nie in diese Richtung hier, auf die des orangefarbenen Vektors. Trotzdem sind alle 3 Vektoren linear abhängig, denn die beiden sind ja voneinander abhängig. Und wenn wir das anders herum packen, also zum Beispiel ... [Was hatte ich gerade jetzt? Hier hatte ich grün ... Ist auch egal.] Hier orange, da grün. Dann könnte Folgendes passieren: Wir setzen hier vor den orangefarbenen Vektor eine 0, dann ist der quasi schon mal weg. Und hier müssen wir ... ich sage mal, mit 2/3 multiplizieren, und dann kommt der pinkfarbene Vektor raus. Der ist einfach nur ein bisschen kürzer als der grüne Vektor. Und dann funktioniert das wieder. Dann ist dieses Gleichungssystem lösbar. Und das ist eben der Fall, auf den man achten muss, wenn man sich die Sache hier einfach machen möchte und mit der Definition weiterrechnen möchte. Der Vorteil dieser Definition ist natürlich, dass man hier ein Gleichungssystem mit 2 Variablen bekommt und nicht mit 3 Variablen. Das kann man dann ja in der Regel etwas schneller lösen.   Wie findet man nun heraus, ob dieser Fall vorliegt oder nicht? Nun ja, wenn dieser Fall vorliegt, dann ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen. Und so etwas kann man eigentlich, wenn man ein bisschen rechnen kann und die Grundschulmathematik beherrscht [das meine ich mit "ein bisschen rechnen"], kann man das eigentlich sehen. Also man muss sich nur vorstellen, wenn ich den jetzt mit einer Zahl multipliziere, kommt der dann heraus. Man sieht in der ersten Komponente gleich, ich müsste den Vektor hier mit -1 multiplizieren, damit hier +1 herauskommt. Wenn ich aber 3 mit -1 multipliziere, kommt nicht -15 heraus, dann ist das schon mal geklärt. Sind diese beiden Vielfache voneinander? Nun, da geht man dann auch diese einzelnen Zahlen durch. Wenn ich jetzt -1 hier stehen habe, dann müsste ich mit -3 multiplizieren, damit 3 herauskommt. Wenn ich 3 mit -3 multipliziere, kommt nicht 11 heraus, also sind diese auch nicht Vielfache voneinander. Und da macht man es genauso, und ... Na ja, soetwas kann man eben doch relativ schnell sehen, ob die Vielfache voneinander sind. Und wenn das also nicht der Fall ist, wenn man gleich sieht, das sind nicht Vielfache voneinander, dann liegen die so irgendwie. [Ich weiß nicht ... So allgemein liegen die dann. Oder so. Keine Ahnung.] Und dann kann man nämlich irgendwelche Zufallvektoren hier herausnehmen und versuchen, sie so linear zu kombinieren, dass der 3. Vektor dabei herauskommt. Wenn das funktioniert, sind sie linear abhängig. Wenn es nicht funktioniert, sind sie linear unabhängig.   Beim Rechnen kann man sich eben hier, wenn man so vorgeht, die Sache dahin gehend einfach machen, dass man ein Gleichungssystem mit 2 Variablen bekommt. [Und da habe ich einen Fehler eingebaut. Hier muss 3r stehen. Ich habe einfach diese beiden Zeilen hier dahin geschrieben.] Da kommt also heraus - also aus diesem Gleichungssystem ist hervorgegangen, dass s gleich -5/3 ist und r=-14/3. Und wenn man das jetzt in die 3. Zeile einsetzt - das heißt, man schreibt jetzt hier -2×r [r=-14/3] -15×s [s=-5/3]. Das kannst du selber ausrechnen. Auf jeden Fall kommt nicht -2 heraus. Und daher wissen wir, da sich dieses Gleichungssystem hier widerspricht (es ist nicht lösbar), deshalb sind die Vektoren linear unabhängig. Allerdings haben wir auch vorher geguckt, ob einer Vielfaches des anderen ist, und deshalb können wir hier so vorgehen.   Das war's dazu, wie man also nachweisen kann, dass 3 Vektoren im dreidimensionalen Raum linear abhängig oder linear unabhängig sind. Viel Spaß damit! Tschüss!        

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