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Transkript Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit – Definition und Erklärung (2)

Hallo, hier ist ein Satz über die lineare Unabhängigkeit. Dieser Satz wird oft als Definition verwendet. Ich hab es aber anders definiert als die lineare Unabhängigkeit und deshalb ist das hier ein Satz und ich kann ihn auch begründen. Der Satz lautet die Vektoren v1, v2 und so weiter bis vn (also eine beliebige, endliche Anzahl von Vektoren) die sind linear unabhängig. Und zwar genau dann, wenn diese Folgerung richtig ist. Und diese Folgerung bedeutet, die Gleichung z1×v1+z2×v2+...+zn×vn=0 ist genau dann richtig, wenn alle Vorzahlen der Vektoren, also z1, z2... zn=0 sind. Das versuche ich noch mal ein bisschen umzuformulieren, weil das doch ein bisschen kryptisch ist, vielleicht. Also, wir haben eine Anzahl von Vektoren und wir wissen: die sind linear unabhängig. Und zwar genau dann, wenn folgendes gilt: Wenn wir eine beliebige Linearkombination dieser Vektoren =0 setzen, dann ist diese Gleichung nur dann richtig, falls alle Vorzahlen der Vektoren, also alle z=0 sind. Also, wie ist das zu begründen? Wir müssen zwei Richtungen begründen, aus oben folgt unten, ebenso wie aus unten folgt oben. Das macht man in diesem Fall meistens mit einem Widerspruchsbeweis. Der steht ganz ordentlich in den Büchern drin, meistens, und deshalb möchte ich das hier nur mit ganz einfachen Zahlen illustrieren. Erste Richtung ist also diese hier, d. h. von oben folgern wir nach unten. Das bedeutet: wenn ich jetzt einen Widerspruchsbeweis machen möchte, muss ich zeigen, dass wenn "nicht unten" gilt auch "nicht oben". Falls dir das nicht ganz vertraut sein sollte - ich hab auch einen Film zum Widerspruchsbeweis gemacht, warum man das genau so macht. Kannst du gucken, und da "Widerspruchsbeweis" eingeben oder so etwas, dann kannst du das finden. Also, um die Richtung von oben nach unten zu zeigen, müssen wir zeigen dass wenn "nicht unten" dann auch "nicht oben". Das bedeutet: wenn "nicht unten" (ich nehme mal irgendwelche Vektoren, z.B. 3×v1+4×v2+5×v3, die sollen =0 sein) und wir sagen, dass hier unten gilt nicht, d. h. es gibt also eine Lösung, die ?0 ist. Hier z. B. eben mit 3, 4 und 5. Dann folgt daraus, dass sie auch nicht linear unabhängig sind, das bedeutet, dass sie linear abhängig sind! Und das kann ich mit einer klitzekleinen Gleichungsumformung zeigen, ich rechne nämlich -3×v1 auf beiden Seiten, und dann steht hier 4×v2+5×v3=-3×v1 und dann kann ich noch durch -3 teilen, auf beiden Seiten, und erhalte dann (-(4/3)×v2)-(5/3×v3)=v1. Damit habe ich v1 als Linearkombination dieser andern beiden Vektoren dargestellt. Das bedeutet, dass diese Vektoren v1 bis v3 hier nicht linear unabhängig sind und damit habe ich gezeigt: wenn also diese Gleichung hier eine andere Lösung hat als 0 - das untere also nicht gilt! - dann gilt das obere auch nicht. Denn diese 3 Vektoren sind nicht linear unabhängig. Für die andere Richtung... die andere Richtung ist nun folgende: wir folgern, wenn "unten" gilt, dann ist auch "oben" richtig, das ist diese Richtung, und auch die kann man praktischerweise mit einem Widerspruchsbeweis zeigen. Ich zeige jetzt: wenn "nicht oben", dann auch "nicht unten". Also. Wenn "nicht oben", d. h. sie sind nicht linear unabhängig, dann gilt folgendes: Wir haben z.B. einen Vektor v1, der ist Linearkombination der Vektoren v2 und v3, das könnte sein. (Nur mal hier so an einem Beispiel gezeigt.) Wenn das also richtig ist - also hier, sie sind nicht linear unabhängig - dann kann ich Folgendes machen. Ich kann nämlich auf beiden Seiten -v1 rechnen und dann steht hier 0=-1×v1+7×v2+8×v3. Es kommt auf jeden Fall folgendes raus. Wir haben hier eine Gleichung, die dieser Gleichung hier entspricht, d. h. wir multiplizieren diese 3 Vektoren mit Zahlen, die hier jetzt alle ?0 sind und es kommt 0 heraus. Das bedeutet, dass was hier unten steht, gilt nicht, wir haben eine Lösung dieser Gleichung, die andere Zahlen enthält als nur die 0, und deshalb ist das hier unten auch nicht richtig. Wir haben also gezeigt, wenn das obere nicht richtig ist, dann ist das untere auch nicht richtig, woraus folgt, dass wenn das Untere richtig ist, ist auch das Obere richtig. Und damit haben wir diese Beweisrichtung gezeigt. Und, ja, das waren zwei Widerspruchsbeweise für einen Satz und damit ist alles geklärt, hoffentlich. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Verwirrend.

    Von Sima63, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    super gemacht, ich wuerde vielleicht noch in den Titel "+Beweisfuehrung" mit aufnehmen.

    Von Deleted User 8459, vor fast 7 Jahren