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Transkript Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit – Definition und Erklärung (1)

Hallo, die lineare Abhängigkeit ist ein zentraler Begriff aus der Vektorrechnung und hier steht er. Es geht um die Vektoren V1, V2 und so weiter bis Vn. Das steht für eine beliebige Anzahl, endliche Anzahl von Vektoren. Und für die gilt nun, dass sie linear abhängig sind, und zwar genau dann, wenn Folgendes gilt: Ein Vektor oder mindestens ein Vektor, kann man auch sagen, ist als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar. Sollte das nicht so sein, dann heißen diese Vektoren hier linear unabhängig. Diese Definition kann man einfach so hinnehmen, sie hat aber natürlich was mit den Linearkombinationen zu tun, zu denen ich auch schon was gezeigt habe. Und man kann sich das ganz gut vorstellen, was das hier bedeutet, die lineare Abhängigkeit und die lineare Unabhängigkeit. Und da möchte ich einfach mal hier ein paar Pfeile bemühen, die ich hier mal vorbereitet habe. Also, 2 Vektoren könnten z.B. so liegen, das heißt also direkt hintereinander, oder auch so könnten die liegen, das heißt sie haben entgegengesetzte Richtungen, und wenn das so ist, dann sind diese beiden Vektoren linear abhängig. Denn z.B. den hier müsste man mit einer negativen Zahl multiplizieren, die kleiner als 1 ist übrigens, und dann würde man zu diesem Vektor hier kommen. Wenn die so liegen, müsste man den pinkfarbenen Vektor mit einer Zahl größer als 1 multiplizieren und erhält den grünen Vektor, dann sind sie also linear abhängig. Dann ist der grüne Vektor als Linearkombination des pinkfarbenen Vektors darstellbar. Wenn sie so liegen, dann sind sie linear unabhängig, denn z.B. den grünen kann ich kombinieren wie ich will, denn ich bekomm ja nur Vektoren, die in dieser Richtung liegen. Und in diese Richtung bekomm ich keinen. Genauso kann ich den pinkfarbenen kombinieren wie ich will und ich bekomme nur Vektoren, die dort liegen. Was passiert nun, wenn ein 3. Vektor dazukommt? Dann könnte Folgendes passieren: die 3 liegen in einer Ebene, ja, so. Wenn die so liegen, dann sind diese 3 Vektoren linear abhängig. Die könnten auch so liegen z.B. oder so oder was auch immer, kein Problem. Wenn die also so in einer Ebene liegen, sind die linear abhängig. Z.B. kann ich diese beiden hier so kombinieren, dass der rauskommt. Man müsste, glaub ich, mit dem ein bisschen zurückgehen, also mit dem orangefarbenen ein bisschen zurück und mit dem pinkfarbenen ein bisschen nach oben, dann krieg ich den grünen Vektor, das geht hier mit allen anderen auch. Jeder ist als Linearkombination der anderen beiden darstellbar. Das ist etwas mehr als hier in der Definition gefordert ist. In der Definition steht nur, dass mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellbar sein muss. Anders wird die Sache dann, wenn sich dieses Bild ergibt, wenn diese 3 Vektoren nicht in einer Ebene liegen. Dann kann ich diese beiden hier, den orangefarbenen und den grünen, kombinieren wie ich will, ich bekomme immer Vektoren, die hier in dieser Ebene liegen, ich bekomm nie diesen pinkfarbenen, ja. Ich kann auch so machen. Wenn die so liegen z.B., dann kann ich hier den pinkfarbenen und den orangefarbenen kombinieren, ich kriege nur welche, die in dieser Ebene liegen, den grünen, den kriege ich niemals zustande. Also, ich kann auch hier den grünen und den orangefarbenen kombinieren und der pinkfarbene kommt nicht raus, also das klappt nicht, diese 3 sind linear unabhängig, und die Sache wir dann anders, wenn jetzt noch ein 4. Vektor hinzukommt. Das möchte ich mal simulieren hier, mit diesem Zeigestock mit der Hand vorne dran. Wenn die z.B. hier irgendwie verstreut im Raum liegen, dann sind sie linear abhängig, denn dieser neu dazugekommene Vektor ist als Linearkombination dieser 3 anderen darstellbar. Das reicht schon. Es muss ja nur irgendeiner als Linearkombination der anderen darstellbar sein. Übrigens könnte sich auch Folgendes ergeben hier, dass diese 3 Vektoren alle in einer Ebene liegen und der hinzugekommene Vektor liegt nicht in dieser Ebene wie diese 3, dann ist übrigens dieser hier nicht als Linearkombination der anderen 3 darstellbar. Trotzdem sind diese 4 Vektoren linear abhängig, wie immer im dreidimensionalen Raum. Denn es ist zwar dieser nicht darstellbar, aber z.B. ist der orangefarbene durch eine Linearkombination des grünen und des pinkfarbenen darstellbar. Ich müsste dann nur das so ein bisschen kombinieren hier, dann kriege ich den orangenen Vektor. Es reicht also das einer als Linearkombination der anderen darstellbar ist, dann sind die hier alle linear abhängig. Ja, und das soll mal reichen als Anschauung, das war es, viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Der schluss mit vier vektoren ist etwas kurz geraten

    Von Samuray, vor fast 6 Jahren