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Transkript Laplace-Experimente – Erklärung

Hallo. Wir wissen was Wahrscheinlichkeiten sind, nämlich Zahlen von 0 bis 1, die Ergebnissen zugeordnet werden und deren Summe =1 ist. Wir haben aber noch nicht besprochen, wie man auf diese Zahlen kommt. Wenn ich jetzt hier allgemein Ergebnisse habe, e1, e2, e3 und so weiter, dann kann ich dem Ergebnis e1 die Zahl 0,1 zuordnen und e2 die Zahl 0,5. Woher wissen wir, dass e1 wirklich die Zahl 0,1 zugeordnet werden muss? Grundsätzlich wissen wir das gar nicht - zumindest nicht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, denn die hält sich aus solchen Fragestellungen heraus. Die mathematische Disziplin, die sich um das Suchen und Finden von Wahrscheinlichkeiten kümmert, ist die Statistik - eben nicht die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es gibt aber eine Forderung, die wir Menschen in die Wahrscheinlichkeitsrechnung hineintragen. Wenn wir zum Beispiel würfeln, dann möchten wir bitte, dass jede Seite die gleiche Chance hat oben zu liegen. Jeder kennt wohl die Situation: Man macht ein Würfelspiel und der Würfel eines ganz bestimmten Mitspielers zeigt erstaunlich viele Sechsen an. Wir fragen uns dann: Geht das noch mit rechten Dingen zu? Genauer gesagt: Hat jede Seite dieses Würfels tatsächlich die gleiche Chance, oben zu liegen? In unserem Wahrscheinlichkeitsmodell bekommt also jede Seite die Wahrscheinlichkeit 1/6. Wenn wir das hier als Ergebnisse des einmaligen Werfens eines Würfels auffassen, dann haben wir 6 Ergebnisse. Das Ergebnis ist die oben liegende Zahl. Wir können jedem Ergebnis die Zahl 1/6 zuordnen. Diese Forderung ist eine Idealisierung. Es gibt wohl keinen einzigen Würfel auf der Welt, der diese Forderung ganz exakt erfüllt, genau wie es kein einziges ganz exakt gleichseitiges Dreieck auf der Welt gibt. Wenn man genau genug nachmisst, dann ist jedes Dreieck nicht ganz genau gleichseitig. Das Gleiche gilt auch für Quadrate. Aber zum einen können wir mit so einer Idealisierung untersuchen, wie sich ein Würfel verhalten sollte - das wollen wir auch wissen, wie sich ein Würfel verhalten sollte, um vergleichen zu können, ob der Würfel dieses bestimmten Mitspielers tatsächlich zu viele Sechsen zeigt und so zu wissen, ob der Würfel ein fairer Würfel ist und der Mitspieler nicht schummelt. Das ist wie bei der Unterscheidung zwischen Gut und Böse. Auch wenn kein Mensch nur gut oder nur böse ist, muss man trotzdem wissen, was idealerweise Gut und Böse ist, um die Menschen entsprechend einordnen zu können. Zum anderen gibt es aber viele Würfel, die dieser idealen Forderung sehr sehr nahe kommen. Das sind zum Beispiel hier diese handelsüblichen Würfel. Wenn wir ein Würfelspiel mit diesen Würfeln machen, dann werden wir kaum eine Abweichung von der Idealisierung feststellen können. Die Ergebnisse, die diese Würfel produzieren, weichen von dem idealen Würfel kaum ab. Wir haben ohne lange Testreihen keine Chance herauszufinden, ob dieser Würfel hier ein ganz idealer Würfel ist oder doch ein wenig abweicht. Es gibt also viele Würfel, die dieser Idealisierung nahekommen. Deswegen wird sie auch zum Rechnen verwendet. Solche Idealisierungen sind bei vielen Zufallsversuchen sinnvoll, wie zum Beispiel beim Lotto, beim Roulette oder beim Ziehen einer Karte aus einem Stapel. Deshalb - weil so viele Zufallsversuche so nahe an der Idealisierung sind - spielt diese Möglichkeit, Zufallsversuche zu modellieren und die Wahrscheinlichkeitsrechnung in Schwung zu bringen, so eine große Rolle. Es gab einen Mathematiker namens Laplace, der sich darüber und über viele weitere Dinge sehr viele Gedanken gemacht hat. Ihm zu Ehren wurden solche Versuche, deren Ergebnisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, Laplace-Versuche genannt. Der richtige Knaller kommt jetzt erst. Wenn die Ergebnisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, dann brauchen wir von einem Zufallsversuch nur noch zu wissen, wie viele mögliche Ergebnisse er hat. Schon haben wir die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses. Wenn der Zufallsversuch 6 mögliche Ergebnisse hat, alle Ergebnisse sollen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und die Summe der Ergebnisse =1 ist, dann bleibt nur noch 1/6 übrig. Wenn wir 7 mögliche Ergebnisse eines Zufallsversuch haben, die alle gleich wahrscheinlich sind, dann bekommt jede Ergebnis die Zahl 1/7 zugeordnet, da sie alle zusammen =1 ergeben müssen. Aber es kommt noch besser. Wenn wir nämlich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses finden möchten, dann brauchen wir nur noch zu wissen, wie viele Ergebnisse in diesem Ereignis sind und schon haben wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Wenn wir zum Beispiel wissen wollen, wie wahrscheinlich es beim einmaligen Würfeln ist, eine 1 oder eine 6 zu würfeln, dann besteht dieses Ereignis (1 oder 6) aus 2 Ergebnissen und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist 1/6+1/6, also 2/6, denn das Ereignis hat ja auch 2 Ergebnisse. So geht das auch ganz allgemein. Wenn wir 100 mögliche Ergebnisse haben und wir definieren ein Ereignis, in dem 30 Ergebnisse enthalten sind, dann müssen wir nur noch 30/100 rechnen und haben die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Dafür gibt es eine sehr einfache Formel. Die Laplace Formel P(E). E ist irgendein Ereignis. Wir müssen nur noch wissen, wie viele Ergebnisse in dem Ereignis sind. Das ist |E|, der Betrag von E. Der Betrag einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge, geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Alle Ergebnisse sind in der Grundmenge ? zusammengefasst und deshalb müssen wir nur noch wissen, was der Betrag von |?| ist. Damit haben wir die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Diese Formel sieht nicht nur einfach aus, sie ist es auch. Sie ist außerordentlich effektiv. Mit ihr kann man wirklich sehr sehr weit rechnen. Jetzt haben wir richtig Dampf in der Bude, jetzt können wir die Wahrscheinlichkeitsrechnung voranbringen. Auch darauf freue ich mich, bis dann, tschüss.

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4 Kommentare
  1. Default

    Wirklich langweilig erklärt

    Von Mohammad Assadi1, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    ich auch nich

    Von Supra Mkiv, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Hab rein gar nichts verstanden o;

    Von Auri, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    hallo

    Von Otto Max Schulz, vor mehr als 4 Jahren