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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Schnittgerade (2)

Hallo! Wir haben wieder hier einen Würfel mit eingehängtem Dreieck. Das verläuft da so schräg in dem Würfel drin. Hier sind also die Angaben dazu und wir wollen nun die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen. Das sind die beiden Ebenen. Die eine ist in Koordinatenform gegeben, die andere in Parameterform. Hier die Ebene 1: x1+x2+x3=4 ist die Koordinatenform, und zwar Koordinatenform der Dreiecksebene hier, die da so schräg in diesem Würfel verläuft. Und die andere Ebene hier in Parameterform, die möchte ich mal eben zeigen. Und zwar haben wir als Stützvektor (4,4,4). Das ist hier. Das ist der Punkt im Würfel, also H. Der Punkt H ist das. Brauche ich jetzt nicht mehr. Und λ×(1,0,0), das ist direkt in diese Richtung. Dann werde ich den hier mal drankleben eben. Und (0,-2,2), der verläuft so, der kommt dann also hier hin. So ungefähr kann man sich diese Ebene vorstellen, dort verläuft sie. Hier verläuft die Dreiecksebene, hier entlang. Diese beiden Ebenen, jetzt nach Ansicht der Dinge, würde ich sagen, schneiden sich. Es entsteht eine Schnittgerade und die soll jetzt einfach mal bestimmt werden. Wie macht man das? Wir sind in der freundlichen Situation, dass wir einmal eine Koordinatengleichung haben und einmal eine Parametergleichung, das macht die Sache besonders einfach. Wir wissen nämlich, dass die Punkte, die in beiden Ebenen sind, beide Ebenengleichungen erfüllen müssen. Sonst wären sie ja nicht in beiden Ebenen gleichzeitig. Für die x1-Koordinate dieser Punkte, die also beide Gleichungen erfüllen, muss gelten, dass die x1-Koordinate also die Form hat 4+λ×1+µ×0. Das bedeutet, statt x1 kann ich hier also hinschreiben 4+λ×1, ja, das ist natürlich λ, das schreibe ich hier jetzt nicht extra hin. Dann steht hier +x2. x2, wenn es in der 2. Ebene auch drin sein soll, muss die Form haben 4+λ×0+µ×(-2). Ja, das kann ich natürlich ein bisschen einfacher schreiben 4-2µ. Und wenn x3 also nicht nur in dieser Ebene drin sein soll, sondern auch in der zweiten Ebene hier, dann muss x3 die Form haben 4+λ×0+µ×2. Also kann ich das statt x3 hinschreiben: 4+2×µ. Und jetzt habe ich also quasi, wie man so sagt, die Gleichung der Ebene 2 hier, der 2. Ebene, koordinatenweise in die Koordinatenform der 1. Ebene eingesetzt. x1, x2, x3 muss zusammen 4 ergeben, wenn also diese Koordinaten zusammen, dieser Punkt, in der 1. Ebene drin sein soll. Dann stelle ich hier fest: Es läuft auf die Gleichung hinaus 4+4+4+λ, -2µ+2µ heben sich ja gegenseitig auf. Das heißt, wir haben 12+λ=4 und das ist genau dann der Fall, wenn λ=-8 ist. Stimmt das? Okay. λ=-8. Und diesen Wert kann ich jetzt in diese Gleichung einsetzen, in die Ebenengleichung E2, und erhalte dann eine Schnittgerade. Und das möchte ich jetzt eben auch noch mal machen. Die Gerade gs, von Schnittgerade, hat dann also die folgende Form: Der Stützvektor bleibt gleich, er ist (4,4,4), + ja, statt λ kann ich jetzt einfach -8 einsetzen, (1,0,0)+µ×(0,-2,2), so heißt es richtig. So, und dann muss ich noch eine kleine elementare Umformung machen und dann ist die ganze Sache ja auch schon durch. Und zwar, gs hat jetzt die Form, das rechne ich gleich alles zusammen. Diese beiden Vektoren hier kann ich ja nun schlicht und ergreifend addieren. Die bilden dann den neuen Stützvektor. Hier steht quasi nur (-8,0,0). Wenn ich das zu (4,4,4) addiere kommt heraus: (-4,4,4) und der Richtungsvektor hier hinten, der bleibt einfach gleich, nämlich (µ×0,-2,2). Das ist die Schnittgerade. Ja, so schnell kann es gehen und ich möchte es kurz noch mal zeigen, dass man sich das auch vernünftig vorstellen kann. Wir haben (-4,4,4), das heißt, hier muss ein Schnittpunkt sein der beiden Ebenen. Und dann haben wir als Richtungsvektor (0,-2,2), das heißt, der verläuft so. Das bedeutet, hier ist die eine Ebene und da ist die Dreiecksebene, und wie man hoffentlich so ungefähr erkennen kann, schneiden die sich wirklich hier hinten. Hier ist dann dieser Schnittpunkt und die Schnittgerade verläuft hier so hoch. Ja, wenn man sich das mal so anschaut. Da verläuft sie hoch, in der Richtung, in der wir uns das auch hier vorgestellt haben, nämlich (0,-2,2), in der Richtung, die wir hier ausgerechnet haben. Und nun kann man so halbwegs feststellen, dass man da richtig gerechnet hat. Ich gehe davon aus, dass das richtig ist. Viel Spaß damit, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Jan Michael Witt:
    Genau. Zu Beginn ist der Punkt G gemeint.
    Vielen Danl für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Das ist richtig gut - nur am Anfang (Punkt H) ein kleiner Fehler, oder!?

    Von Jan Michael Witt, vor mehr als 2 Jahren