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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Schnittgerade

Hallo! Wir haben 2 Ebenen, eine in Koordinatenform, eine in Parameterform, und wir möchten wissen, wie die Lage dieser beiden Ebenen ist. Ich erklär kurz das verfahren, und danach erkläre ich es dann noch mal ausführlich. Wir lesen die Parameterform zeilenweise, oder, man kann auch sagen koordinatenweise, und setzen die erste Koordinate, die hier entsteht, für x1 ein, die zweite Koordinate für x2 und die dritte für x3. Dann erhalten wir eine Gleichung, in der r und s noch vorkommen und wenn diese Gleichung eine Abhängigkeit von r und s zur Folge hat, dann können wir daraus eine Gerade konstruieren und das ist die Schnittgerade der beiden Ebenen. Wenn wir einen Widerspruch bekommen, dann sind die beiden Ebenen parallel und verschieden. Wenn wir eine immer richtige Gleichung bekommen sind die Ebenen identisch. Das ist schon das ganze Verfahren. Jetzt erkläre ich das ausführlicher und mit Begründung. Wenn wir hier, in diese Parameterform für r und s Zahlen einsetzen, bekommen wir Punkte einer bestimmten Form. Wir bekommen nicht jeden Punkt des dreidimensionalen Raumes, sondern wir können nur Punkte erzeugen, die alle auf einer bestimmten Ebene liegen. Sollte es sich herausstellen, dass das Doppelte einer ersten Koordinate eines so erzeugten Punktes, plus das Doppelte der zweiten Koordinate plus das Doppelte der dritten Koordinate zusammen 10 ergibt, dann ist dieser Punkt auch in dieser Ebene, und nicht nur in dieser. Und jetzt möchten wir klären, ob es solche Zahlen für r und s gibt, sodass also diese obere Gleichung erfüllt ist. Wie machen wir das? Das machen wir mit einer Gleichung, und zwar mit der hier: Die erste Koordinate eines Punktes, der dadurch erzeugt wird, dass wir hier für r und s Zahlen einsetzen, hat immer die Form 1+r×6+s×-1. Das steht hier: 1+6r-s. Ich habe das jetzt natürlich nicht so umständlich geschrieben. Wenn wir jetzt also das Doppelte der ersten Koordinate plus das Doppelte der zweiten Koordinate plus das Doppelte der dritten Koordinate eines so erzeugten Punktes =10 setzen, erhalten wir eine Gleichung, die wir dann hoffentlich lösen können und in der wird dann entweder auftauchen das r und s eine Abhängigkeit haben, dann haben wir eine Schnittgerade oder, es wird sich herausstellen, dass wir einen Widerspruch haben. Wenn wir jetzt also das Doppelte der ersten Koordinate plus das Doppelte der zweiten Koordinate plus das Doppelte der dritten Koordinate eines so erzeugten Punktes =10 setzen, erhalten wir eine Gleichung, die wir dann hoffentlich lösen können und in der wird dann entweder auftauchen das r und s eine Abhängigkeit haben, dann haben wir eine Schnittgerade oder, es wird sich herausstellen, dass wir einen Widerspruch haben. Dann sind die Ebenen parallel und verschieden, oder wir erhalten eine Gleichung, die immer wenn wir für r und s etwas einsetzen, richtig ist. Dann sind die beiden Ebenen identisch. Hier können wir nun die Gleichung einfach lösen oder erst mal vereinfachen, ich hab das heimlich vorher schon mal nachgerechnet. Die Zahlen heben sich auf, hier steht auch 10 wenn man 2×1+2×3+2×1 rechnet das ist dann 10 und dann haben wir hier noch 2×6r+2×3r und das sind dann 18r-2s=0. So sieht also diese Gleichung in vereinfachter Form aus und die kann man dann nach s auflösen, indem man +2 rechnet und durch 2 teilt. Dann haben wir 9r=s. Jetzt sind wir schon ein Stück weiter, wir wissen nämlich, wenn wir für r und s Zahlen derart einsetzen, dass 9r=s ist, dann erhalten wir nicht nur einen Punkt dieser Ebene hier in Parameterform, sondern dieser Punkt hat dann auch noch die Eigenschaft, dass das Doppelte der ersten Koordinate plus das Doppelte der zweiten Koordinate plus das Doppelte der dritten Koordinate gleich 10 ist. Das bedeutet, er ist auch in dieser Ebene hier, die durch diese Koordinatenform dargestellt wird. Wenn wir nun für s in diese Parametergleichung 9r einsetzen, dann erhalten wir alle Punkte, die in dieser Ebene liegen und die zusätzlich noch in dieser Ebene liegen. Das geht folgendermaßen, wir ersetzen s durch 9r, ja das hab ich hier gemacht. So, und wenn man das jetzt zusammenfasst - man kann ja hier r rein multiplizieren, dann haben wir 6r und 9r-1  kann man auch hier hereinrechnen - dann haben wir hier -9r stehen und dann können wir die beiden Vektoren addieren und als erste Koordinate kommt dann -3r heraus und dann können wir das r wieder hier herausziehen. Ich glaube das ist bekannt von der Vektoraddition. Was wir dann auf jeden Fall bekommen, wenn wir das zusammengerechnet haben, ist eine solche Gleichung und das ist eine Geradengleichung. Das bedeutet, die Schnittgerade der beiden Ebenen hat diese Gleichung hier. Also die beiden Ebenen schneiden sich, hier ist die Schnittgerade, das haben wir rausgefunden. Indem wir wie man so salopp sagt die Parameterform in die Koordinatenform einsetzt. Den Vektor kann man noch jede Koordinate durch drei teilen dazu kommt noch ein Vektor der gleiche die Richtung hat aber etwas kürzer und vielleicht ein wenig handlicher von den Zahlen her aber so ist das auf jeden fall auch richtig. Mehr ist dazu nicht zu sagen. Tschüss

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