Textversion des Videos

Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Schnitt zweier Ebenen (3)

Hallo! Wir haben 2 Ebenen in Parameterform und wir möchten wissen, ob diese beiden Ebenen sich schneiden, wenn ja, welche Schnittgerade sie haben oder ob sie parallel sind, das heißt, sich nicht schneiden, oder ob sie identisch sind. Nun, ich weiß es in diesem Fall schon, sie sind identisch. Und wir testen das normalerweise, indem wir die beiden Ebenen gleichsetzen, dann erhalten wir ein Gleichungssystem und dann passiert etwas Bestimmtes damit. Wenn sie sich schneiden, das habe ich schon gezeigt, dann erhält man aus diesem Gleichungssystem eine Schnittgerade. Wenn sie parallel sind, das habe ich auch schon gezeigt, wie das geht, dann erhält man einen Widerspruch. Wenn sie identisch sind, wie hier - na, das werden wir dann sehen, was passiert. Noch zur Klärung der ganzen Sache: Viele Leute haben ja den Eindruck, wenn 2 Ebenen identisch sind, dann müssten sie auch irgendwie die gleichen Parameterformen haben oder da müsste dann in der Darstellung der Ebenen hier einiges gleich sein, also in dieser formalen Darstellung der Ebenen. Das ist aber nicht so. Klar kann das geübte Auge jetzt hier und da etwas erkennen. Aber so auf den ersten Blick, würde ich mal sagen, sieht man diesen beiden Ebenen nicht an, dass sie identisch sind. Also stellen wir uns einmal auf den Standpunkt, wir wissen das nicht, ob die identisch sind oder nicht oder was sonst mit denen los ist und wir setzen die einfach gleich und gucken mal, was passiert. Gleichsetzen kann ich eben auch noch zeigen. Das sieht dann so aus. Also man nimmt diese Ebene, setzt sie dann hier daneben. Das Gleichheitszeichen (=) ist noch dazwischen. Und dann hat man ein Gleichungssystem. Wenn man nämlich die Zeilen hier einzeln als Gleichungen hinschreibt (ich sage das hier auch noch einmal - diese Ebene ist ja recycelt, die habe ich schon mal in einem Film verwendet), dann ist die 1. Zeile: 1+r×-1+s×3=6+k×4+m×-1. Die 2. und 3. Zeile genauso, das muss man einfach so abschreiben. Dann erhält man also ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen. Man möchte dann weiter umformen, und zwar so, dass nur noch die Variablen einer Ebene in einer Zeile stehen. Hier ist erst einmal ein Zwischenergebnis. Da habe ich also alle Zahlen auf die rechte Seite gebracht und alle Variablen auf die linke Seite, wie man das so salopp sagen kann. Und jetzt soll eben weiter so aufgelöst werden, dass hier eine 3. Zeile entsteht, in der nur noch k und m vorkommen. Ich möchte dazu in der 2. und 3. Zeile, hier auf der 1. Position beim 1. Summanden, jeweils eine 0 haben. Die Tatsache, dass s hier nicht vorkommt, könnte ich zwar ausnutzen. Das mache ich aber nicht, weil ich dann hier mit Brüchen multiplizieren müsste, und ein so großer Vorteil ist es auch nicht. Also: Ich nehme das 5fache der 1. Gleichung und ziehe die 2. Gleichung davon ab. Das ist dann die neue 2. Gleichung. Und ich nehme die 1. Gleichung und ziehe die 3. davon ab. Das ist dann die neue 3. Zeile. Und auch das habe ich schon einmal hier vorbereitet. Das sieht dann so aus. Hier ist 0, da ist auch 0, bzw. die Koeffizienten von r sind 0, so kann man das ja auch sagen. Und jetzt möchte ich noch, dass hier eine 0 auftritt, da wo jetzt 5s steht, damit ich dann eine 3. Zeile habe, in der nur noch k und m vorkommen. Dazu muss ich also die 2. Zeile nehmen und das 3fache der 3. Zeile davon abziehen. Und dann passiert Folgendes: Wir haben 15s - das 3fache von 5s = 0 und -15k - das 3fache von 5k = 0. Bei m passiert das gleiche, da ist es auch 0. Und hier bei den Zahlen nehmen wir 30 und ziehen das 3fache von 10 ab, das ist auch 0. So, dann haben wir 0+0+0=0, das ist richtig. Das bedeutet, wir können für s, k und m irgendetwas einsetzen. Das ist immer richtig, weil die Koeffizienten alle 0 geworden sind. Okay? Das passiert typischerweise, wenn die beiden Ebenen identisch sind. Dann löst sich quasi das ganze Gleichungssystem in Lust und Wohlgefallen auf. Man kriegt lauter Nullen, man kriegt Koeffizienten, die 0 sind. Und so kann man eben alle möglichen Zahlen für die Variablen einsetzen. Wir haben hier also keine Schnittgerade herausbekommen. Wenn wir eine Schnittgerade bekommen würden, müsste man eine Zeile bekommen, in der nur noch k und m stehen. Und dann kann man m/k zum Beispiel darstellen und dann in die Ausgangsebene einsetzen. Das war hier nicht der Fall. Wir haben auch keinen Widerspruch bekommen und können deshalb überzeugt sein, dass die beiden Ebenen identisch sind. Man kann das übrigens auch mit Punktproben machen. Wenn man feststellt, dass zum Beispiel 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, in der einen Ebene wie auch in der anderen Ebene vorkommen, dieselben Punkte jeweils, dann sind auch die Ebenen identisch. Ich habe es jetzt so gezeigt. Viel Spaß damit. Tschüss!

Informationen zum Video