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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Parallelität durch lineare Abhängigkeit bestimmen

Hallo! Wir haben zwei Ebenen gegeben, beide in Parameterform. Und es ist nun zu zeigen, ob diese beiden Ebenen parallel sind oder nicht und zwar mithilfe der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren. Ich persönlich halte von diesem Verfahren gar nichts, denn es gibt ja das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt genannt). Man kann mit diesem Produkt diese beiden Richtungsvektoren der einen Ebene miteinander multiplizieren, dann erhält man einen Vektor, der rechtwinklig ist zu dieser Ebene, also einen Normalenvektor. Das kann man mit den beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene auch machen. Wenn die beiden entstanden Normalenvektoren Vielfache voneinander sind, was man ja direkt sehen kann, dann sind die beiden Ebenen parallel. Wenn sie nicht Vielfache voneinander sind, was man auch direkt sehen kann, dann sind die beiden Ebenen nicht parallel. Dann wäre man schnell fertig. Bei dem Verfahren mit der linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit braucht man mehr Gleichungen. Das dauert länger, wird aber unterrichtet. Und deshalb zeige ich, wie das geht. Also, Sinn der Sache ist: Man überlegt sich, dass die beiden Ebenen nur dann parallel sein können, wenn einer der Richtungsvektoren der zweiten Ebene linear abhängig ist von den beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene. Und wenn auch noch der andere Richtungsvektor der zweiten Ebene ebenfalls linear abhängig ist von den beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene. Dieser Vektor ist linear abhängig von den beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene, wenn dieser Vektor als Linearkombination dieser beiden Richtungsvektoren darstellbar ist. Und diese Situation, wie man das rausfindet, habe ich hier mal vorbereitet. Hier sind die beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene und die werden als Linearkombination hier hingeschrieben. Das heißt also, irgendeine Zahl × Vektor + irgendeine andere Zahl × den anderen Vektor. Diese Linearkombination wird gleichgesetzt mit dem ersten Richtungsvektor der zweiten Ebene. Wenn es Zahlen r und s gibt, die diese Gleichung erfüllen, dann ist der erste Richtungsvektor der zweiten Ebene linear abhängig von den beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene. Wenn man diese Gleichung hier zeilenweise schreibt, erhält man ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 3 Gleichungen. Davon nimmt man sich zum Beispiel die ersten beiden Gleichungen raus. Das ist ein Gleichungssystem mit 2  Variablen und jetzt 2  Gleichungen. Normalerweise steht hier nach -2r auch was, aber da  hier 0×s stände, habe ich das nicht hingeschrieben. Natürlich funktioniert das auch, wenn hier 3s oder ähnliches steht. Wie man ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen löst, hast Du in der Mittelstufe gelernt. Da gibt es das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Sollte Dir das nicht mehr geläufig sein, dann kannst Du die Filme gucken, in denen das behandelt wird. Wenn man dieses Gleichungssystem dann gelöst hat, setzt man beide Lösungen hier in die dritte Gleichung ein. Das gleiche Verfahren muss man dann noch mit dem zweiten Richtungsvektor der zweiten Ebene machen. Ich habe hier auch andere Variablen genommen, damit man da nicht durcheinandergerät. Eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene wird gleichgesetzt dem zweiten Richtungsvektor der zweiten Ebene. Sollte es Zahlen geben, die diese Gleichung erfüllen für k und am, dann liegt eine lineare Abhängigkeit vor. Zeilenweise geschrieben erhält man wieder ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 3 Gleichungen. Man löst die ersten beiden Gleichungen mithilfe des Additionsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens oder des Gleichsetzungsverfahrens und setzt die Lösungen in die dritte Gleichung ein. Wenn sich eine richtige Gleichung ergibt, ist dieses Gleichungssystem lösbar. Das heißt, diese Gleichung ist dann richtig für bestimmte Zahlen k und m. Und der zweite Richtungsvektor der zweiten Ebene ist dann auch linear abhängig von den beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene. Und damit kann man dann wissen, dass die beiden Ebenen parallel sind. Jetzt kann noch einiges passieren, das rechne ich nicht im Einzelnen vor. Ich glaube auch nicht, dass die beiden Ebenen, die ich mir ausgedacht habe, parallel sind, ich wollte nur das Verfahren zeigen. Jetzt könnte es zum Beispiel passieren, dass hier ein Lösungssystem gar nicht lösbar ist, also auch schon in den ersten beiden Gleichungen. Was das bedeutet, muss man sich dann noch gesondert überlegen. Oder dass sich Variablen zu 0 addieren, das kann auch mal passieren. Dann müsste man auch wieder darüber nachdenken, was das dann bedeutet. Das mache ich jetzt hier nicht, ich wollte nur grundsätzlich das Verfahren zeigen. Aber jetzt zum Schluss noch eine Veranschaulichung der ganzen Sache und die finde ich gar nicht so doof. Das wäre gut, wenn man sich das irgendwie vorstellen kann. Angenommen, wir haben zwei Ebenen. Die möchte ich jetzt so darstellen, hier mit zwei Richtungsvektoren und da auch mit zwei Richtungsvektoren. Mal angenommen, diese beiden Ebenen seien parallel, dann sieht das ungefähr so aus. Dann liegen die Vektoren von der Kamera aus gesehen hintereinander. Wenn die jetzt parallel sind, dann kann man Folgendes machen: Man nimmt den einen Richtungsvektor der einen Ebene und versucht ihn als Linearkombination der anderen beiden darzustellen. Das bedeutet, wenn die beiden Ebenen parallel sind, dann liegt der Vektor hier - wenn man ihn an den Ursprung der anderen dransetzt - auch auf der Ebene, die von diesen beiden hier erzeugt wird. Die liegen dann alle drei in derselben Ebene. Das bedeutet lineare Abhängigkeit. Das ist mit dem zweiten Richtungsvektor genauso. Der liegt dann auch in der Ebene, die durch diese beiden hier aufgespannt wird. Letzten Endes liegen dann also alle 4 Vektoren in einer Ebene, wenn die beiden Ebenen, um die es hier geht, parallel sind. Das ist ganz praktisch, wenn man sich das vorstellen kann. Die Rechnung geht, wie gesagt, einfacher, vor allem, wenn man dann auch die Parameterformen in Koordinatenformen oder Normalenformen umformt. Dann hat man ja auch gleich die Normalenvektoren und kann dann schnell erkennen, ob zwei Ebenen parallel sind. Trotzdem viel Spaß damit, tschüss!

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