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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Identität

Hallo! Wir haben zwei Ebenen, eine in Koordinatenform, eine in Parameterform und wir möchten wissen, wie die Lage dieser beiden Ebenen zueinander ist. Kurz gesagt macht man das so, man setzt die Parameterform koordinatenweise in die Koordinatenform ein. Wenn sich diese Gleichung mit zwei Variablen zu einer Variablen auflösen lässt, dann kann man diese Variable durch die andere Seite der dann entstandenen Gleichung in der Parameterform ersetzen und erhält bei geeigneter Umformung eine Geradengleichung aus dieser Parameterform. Das ist dann die Schnittgerade der beiden Ebenen. Sollte sich da ein Widerspruch ergeben, sind die beiden Ebenen parallel und verschieden. Sollte eine immerwahre Gleichung herauskommen, dann sind die beiden Ebenen identisch. Und wie man das konkret macht, möchte ich jetzt mal zeigen. Das macht man mit einer Gleichung, die so aussieht und die Erklärung dazu geht so: Die Punkte der Ebene, die hier entstehen, die durch diese Parameterformen entstehen, haben bestimmte Koordinaten. Die erste Koordinate hat immer die Form: 1 + r  x 6 + s  x (- 1). Oder kurz geschrieben: 1 + 6r - s. Die zweite Koordinate hat immer die Form 3 + r  x 3 + s. das habe ich hier hingeschrieben. Und die dritte Koordinate hat immer die Form: 1 +, ja hier kommt nichts raus, und hier haben wir dann - s, also nicht +, also kurz geschrieben 1 - s. Das ist immer die Form der dritten Koordinate eines Punktes dieser Ebene. Wenn wir nun diese Formen in die Koordinatenform einsetzen, das habe ich hier gemacht, dann können wir klären, ob es für r und s Zahlen gibt, die diese Koordinatenform erfüllen. Wenn es solche Zahlen gibt, dann liegen die Punkte nicht nur in dieser Ebene hier, die in Parameterform dargestellt ist, sondern sie liegen auch in dieser Ebene, da sie ja dann auch die Koordinatenform erfüllen. Wenn man das weiß, ist man quasi jetzt schon fertig, denn man muss diese Gleichung nur noch ein bisschen umformen, etwas einfacher machen und dann sieht man das Ergebnis bereits. Man stellt hier fest, dass sich  r und s zu 0 addieren. Für die Zahlen gilt dann 1 +  - , also 1 - 6 - 3 ist -8. Und hier steht auch -8 auf der anderen Seite. Ja -8 = -8, das wussten wir vorher auch schon. Was bedeutet das jetzt? Das bedeutet, egal was wir für r und s einsetzen, diese Gleichung ist immer richtig. Das bedeutet, immer wenn wir also für r und s Zahlen einsetzen, erhalten wir nicht nur einen Punkt, der in der Ebene ist, die durch diese Parameterform hier dargestellt wird, sondern wir erhalten auch einen Punkt, der in der Ebene liegt, die durch diese Koordinatenform hier dargestellt wird. Wenn also jeder Punkt der Parameterform auch in der Koordinatenform ist, kurz gesagt, dann sind beide Ebenen identisch bzw. genauer gesagt: Es ist eine Ebene, die durch zwei verschiedene Gleichungen dargestellt wird. Also, wenn durch Einsetzen der Parameterform in die Koordinatenform eine immerrichtige Gleichung entsteht, dann sind die beiden Ebenen identisch.  Viel Spaß damit, tschüss.  

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