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Transkript Lagebeziehungen zweier Ebenen – Abstand zweier Ebenen (1)

Abstand zweier Ebenen - wie macht man das, was ist die Taktik? Ich halte zwei Ebenen eben hierhin. Man hat den Abstand zweier Ebenen nur dann, wenn die beiden parallel sind, weil sie sich ansonsten nämlich schneiden, dann hat man keinen Abstand. So, und wenn die hier parallel sind, dann sucht man sich hier auf der Ebene einen Punkt und berechnet dann den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene. Genau. Warum darf man das machen? Weil jeder Punkt dieser Ebene den gleichen Abstand zu dieser Ebene hat, das heißt, man kann sich irgendeinen Punkt nehmen. Und wenn man dann den Abstand zu einer Ebene berechnen möchte, dann benutzt man die Abstandsformel eines Punktes zu einer Ebene. Dazu braucht man eine Ebenenkoordinatenform, weil man einen Normalenvektor aus der Koordinatenform ablesen kann, den braucht man hier für den Normalenvektor einer Ebene, und man braucht das d. Das d ist diese Zahl hier am Ende der Koordinatenform, die braucht man. Und wir brauchen einen Punkt der anderen Ebene, das ist praktisch, wenn man die andere Ebene in Parameterform gegeben hat, denn der Stützvektor ist ja ein Punkt der Ebene und dann kann man einfach den Abstand dieses Stützvektors bzw. des Endpunktes dieses Stützvektors zu dieser Ebene berechnen mit dieser Formel. Die Frage, was macht man, wenn man zwei Ebenen in Koordinatenform gegeben hat, zum Beispiel? Dann formt man die so um, dass man nachher gut mit denen arbeiten kann. Man braucht eine in Koordinatenform, um dieses d und dieses n, diesen Normalenvektor, hier rauszuziehen. Von der anderen Ebene braucht man nur einen Punkt, das heißt, es ist egal, ob jetzt in Parameterform, in Koordinatenform oder in der Normalenform. Von dieser Ebene braucht man irgendeinen Punkt, wie man den kriegt, ist völlig egal. Also, wenn man die in Koordinatenform hätte, bräuchte man die nicht in Parameterform umformen, sondern nur einen Punkt, wie gesagt. Und wenn man jetzt zwei Parameterformen hat, zwei Ebenen, dann kann man die eine Ebene so umformen, dass man eine Koordinatenform hat. Genau, dann muss man die nur umformen. Alles klar. Dann startest Du. Ich werde jetzt erst mal den Normalenvektor hier ablesen - und dann kannst Du auch gleich den Betrag bestimmen des Normalenvektors. Okay, der Normalenvektor ist 1, -2 und -1, also ist der Betrag: \sqrt(6). Und das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Stützvektor ist: 2-16+1 und das ist gleich -13. Und das wird jetzt oben in die Formel eingesetzt. Ja, es bleibt dann nur Einsetzen in die Formel, wenn man weiß, was man zu tun hat, ist dann aber häufig so in der Vektorrechnung. -13-5 = 18. Genau, wir hatten ausgerechnet, dass -13 das Skalarprodukt ist und dann kommt -5 dazu. Und das hier, das ist der Betrag, der ist also positiv, könnte man auch schreiben als 3×\sqrt(6), weil 18 = 3×6 ist und man kann sechs als \sqrt(6)×\sqrt(6) schreiben und dann die \sqrt(6) kürzen. Da kann man dann den Näherungswert angeben mit dem Taschenrechner, brauchen wir jetzt nicht zu machen. Okay und das ist der Abstand zwischen den beiden Ebenen. Genau. Ich möchte eine kleine Sache noch zeigen von einer Spezialebene, nur um darauf hinzuweisen, dass es immer ganz praktisch sein könnte, dass man sich die Ebenen vorher genau anguckt. Oft in Aufgaben ist es so, dass man direkt was erkennen kann, ohne eine lange Rechnung zu machen. Und da hat man ein bisschen kompliziertere Vektoren. Und die Ebene, die andere Ebene, ist in Koordinatenform gegeben und die lautet x2 = -1. Auch das kann man machen. Wenn die Koeffizienten von x1 und x3 beide 0 sind und der Koeffizient halt 1 ist, wie hier, dann kann man die Ebene in Koordinatenform auch so schreiben. So und dann darf man sich überlegen: Wie sieht die denn aus? Wenn die x1- und die x3-Koordinate 0 sind, dann ist diese Ebene parallel zur x-3 und x1-Achse. Das heißt, x3 ist hier, x1 ist hier, die verläuft irgendwie so durch das Koordinatensystem. Und zwar so, dass sie die x2-Achse bei -1 schneidet. Da ist die x2-Achse. Und die hier ist parallel zu der anderen Ebene, sonst könnte man auch gar nicht den Abstand berechnen. Sieht man hier ran, dass hier jeweils eine 0 steht. Das heißt, die beiden Richtungsvektoren hier haben keine Ausdehnung in x2-Richtung, sondern nur in x1 und x3. Also sind die beiden parallel. Und wie groß ist jetzt der Abstand des Stützvektors zur anderen Ebene? 16, genau. Weil diese Ebene nämlich durch -1 geht auf der x2-Achse und diese durch 15, dass steht ja hier. Und das ist dann der Betrag von 15 und -1, wäre 16. Super. Das kam ja schneller als gedacht. Man muss sich nur die Koordinaten nehmen.

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