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Transkript Lagebeziehung von Geraden im Raum

Hi! Mein Name ist Stephan Richter und heute erkläre ich euch etwas über die Lagebeziehung zweier Geraden. Wir haben hier also 2 sehr splitterige Geraden. Welche Lagebeziehung können sie zueinander haben? Sie können parallel zueinander verlaufen, sie können identisch sein, sie können sich schneiden oder sie sind windschief, also berühren sich überhaupt nicht. Okay, arbeiten wir das einmal Stück für Stück ab: Die Geraden können parallel sein, identisch, sie besitzen einen Schnittpunkt oder sie sind windschief zueinander. Wenn die Geraden parallel sind, dann laufen sie beide in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung (so wären sie ja immer noch parallel). Ich hatte sie gerade nicht zufällig parallel nach oben stehen, denn das ist das Erste, was wir kontrollieren. Zu allererst: Sind die Geraden parallel? Wenn ja, dann müssen wir prüfen, ob sie identisch sind. Wenn sie identisch sind, sind sie identisch; wenn nicht, dann sind sie parallel. Das prüfen wir, indem wir nachsehen, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, dann schauen wir nach: Liegt ein beliebiger Punkt von g1 auf g2? Wenn ja, dann sind sie identisch; wenn nein, dann sind sie parallel. Sind die Geraden allerdings nicht parallel, also wenn die Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sind, dann überprüfen wir, ob sie einen Schnittpunkt haben. Und das überprüfen wir, indem wir die Geraden gleichsetzen. Haben die Geraden einen Schnittpunkt, dann schneiden sie sich. Haben die Geraden keinen Schnittpunkt, dann müssen sie windschief sein. Das üben wir jetzt noch einmal. Okay und das machen wir jetzt alles noch mal mit 2 Geraden. Wir haben einmal die Gerade durch den Ursprung mit dem Richtungsvektor (1;5,9) und die Gerade mit dem Stützvektor (2;10;18) und dem Richtungsvektor (-3;-15;-27). Sind die parallel zueinander? Dann müsste ja dieser Richtungsvektor ein Vielfaches von dem sein. Umgekehrt ist natürlich auch der ein Vielfaches von dem. Also wir gucken jetzt nach: -3=r×1. Ja, das könnte für -3 gehen. -15=-3×5. Ja, das stimmt auch noch. Aber nicht zu vorsichtig sein, alle 3 Felder überprüfen. -27=-3×9 sind -27. Ja, sie sind parallel. Aber sind sie auch identisch? Dann müsste ja 1 Punkt von dieser Geraden auf der Geraden liegen. Als einfachsten Punkt nimmt man den Stützvektor. Der Stützvektor einer Geraden, also jeder beliebiger Punkt (weil der Stützvektor einfach ein sehr leicht zu wählender Punkt ist), liegt also auf dieser Geraden. Dann setzen wir den Stützvektor gleich dieser Geraden. Oder wir setzen den Stützvektor für x ein. Wir können auch diesen Stützvektor hier einsetzen, das ist vollkommen egal. Das Ganze schreiben wir jetzt um in ein linaeres Gleichungssystem. So, dann sehen wir mal nach. Was gilt denn aus der 1. Gleichung? Bringen wir das mal herüber. s×3 sind also =2. Und daraus folgt also: In der ersten Zeile muss s=2/3 sein. Das überprüfen wir jetzt noch einmal. Okay: 15/3=5, 5×2=10, 10-10=0. Klasse! Und noch einmal hier in der 3. Zeile: 27/3=9, 9×2=18, 18-18=0. Das stimmt also auch. Somit sind die Geraden identisch. Und wenn man noch einmal ein bisschen genauer hinsieht: Diese Gerade verläuft durch den Ursprung mit diesem Richtungsvektor. Und der Stützvektor ist nichts anderes als dieser Richtungsvektor × 2. Hätten wir die Gleichung also umgekehrt gelöst, dann hätten wir viel leichter sehen können, dass wir für r einfach nur 2 einsetzen müssen.  

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6 Kommentare
  1. Default

    endlich ein Mathe Video ohne martin w.. Sehr hilfreich danke!

    Von Murat Madenciler, vor 9 Monaten
  2. Printimage

    Hallo Dicandia Juliet,

    Geraden die senkrecht oder orthogonal zueinander sind haben einmal einen Schnittpunkt. Außerdem beträgt das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich 0.

    LG

    Stephan

    Von Steph Richter, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Und was ist mit senkrecht?

    Von Dicandia Juliet, vor fast 2 Jahren
  4. Printimage

    vielen Dank und viel Erfolg noch beim lernen =)

    Von Steph Richter, vor etwa 4 Jahren
  5. Dog

    danke, schönes Video, sehr verständlich erklärt :)

    Von Crazy D., vor etwa 4 Jahren
  1. Default

    Endlich habe ich es verstanden, vielen vielen Dank!!

    Von Deleted User 34089, vor mehr als 4 Jahren
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