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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 4 (2)

Hallo, Willkommen zum 2. Teil der Zuwachsuntersuchung und jetzt geht es um das Verhalten für x nahe 0.

Wir wissen, dass wir für das Verhalten x nahe 0 der Summand mit der kleinsten Potenz von x verantwortlich ist und das Absolute Glied, also in unserem Fall 4x-8. Wie die Funktion 4x-8 verhält sich die Funktion f(x) für x nahe 0. Und das kann ich eben andeuten. Wenn wir hier ein Koordinatensystem haben und hier ist -8 dann geht die Funktion 4x-8 durch den Punkt (0/-8) und zwar mit der Steigung +4, das sieht ungefähr so aus - das muss jetzt nicht ganz exakt sein.

Ich darf kurz anmerken, dass in der Regel nahe null nicht genau definiert wird, auch dass man sagt, diese Funktion f(x) verläuft wie 4x-8, wird auch nicht präzisiert, was auch dieses „wie“ sein soll - mit Mathematik hat das nichts zu tun, aber da es so gelehrt wird und in den Büchern steht, deshalb erkläre ich das auch hier. Dann geht es weiter mit den Achsenschnittpunkten,  auch da kann man sich kurzfassen, das steckte in der Überlegung schon drin bei dem Verhalten x nahe Null,  wir müssen einfach in den Funktionsterm hier für x eine 0 einsetzen, bekommen dann den Wert, den diese Funktion f von x bei x=0 hat, das ist kein Geheimnis, wenn ich sage, das ist -8, dass heißt also, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei x= 0 und y=-8. Wie du das aufschreiben sollst weiß ich nicht, das ist von Lehrer zu Lehrer verschieden, für mich ist das jetzt hier erledigt.

Aber die Nullstellen, die Schnittpunkte also mit der x-Achse, die sind hier ein kleines bisschen schwieriger. Da hilft es schon einmal, wenn man sich dazu schon die Grafik einmal angesehen hat. Das sieht ungefähr so aus: Hier geht es hoch, da ist ein Sattelpunkt und dann geht es noch mal weiter. Hier ist exakt -1 und da ist 2. Also zumindest sieht es so aus in der Grafik und daher kann man darauf kommen, dass eine Nullstelle bei -1 ist und eine bei 2 ist. Wir müssen das probieren, ob das stimmt, wir können das ja rechnerisch nachweisen, das heißt, wir müssten hier für x -1 einsetzen und schauen, ob 0 rauskommt und wir können für x+2 einsetzen und schauen ob 0 rauskommt. Da kommt jeweils 0 raus, ich rechne das jetzt nicht vor. Um die weiteren Nullstellen zu finden, müssen wir dann die Polynomdivision machen, und zwar durch x-Nullstelle teilen. Und das fange ich einmal auf einem neuen Blatt an.

Wir haben also (x4-5x³+6x²+4x-8)/(x-2)

Was kommt da raus? Wir müssen zunächst einmal diesen Summanden durch den ersten Summanden teilen, dann haben wir x³.Dann müssen wir das Ergebnis mit der gesamten Kammer multiplizieren, das ist als (x4-2x³). -, hier ist ein -Zeichen und nun den Term hier von dem abziehen, herauskommt -3x³. Dann können wir den Summanden dazuschreiben, und das sind 6x² und die Division von vorne beginnen, quasi. Wir müssen -3x³ durch diesen ersten Summanden hier teilen, also durch x. und das ist -3x². und dann wieder dieses Ergebnis mit der gesamten Klammer hier multiplizieren. also erhalten wir hier -3x³ und -3x²-2+6x². Dann können wir das abziehen und dann kommt 0 raus. Dann können wir die nächsten beiden Summanden runterholen, also die Division mit den letzten beiden Summanden hier ausführen. Und wenn man diesen ersten Summanden durch x teilt, kommt 4 raus, also kann man hier +4 hinschreiben. Und dann 4×x-2 rechnen, und das ist 4×x=4x und 4×(-2)=-8. Wenn man das abzieht, kommt 0 raus.

Das heißt, das hier ist unser Ergebnis die Division ging auf. Jetzt müssen wir hier aber auch noch eine Polynomdivision machen, da wir ja einen Term dritten Grades haben, bei der wir die Nullstellen suchen. Da können  wir noch keine p-q-Formel oder Mitternachtsformel anwenden -und das mache ich jetzt im nächsten Teil,

bis dahin viel Spaß - tschüss.

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