Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 4 (1)

Hallo! Es geht um eine Funktionsuntersuchung einer ganzrationalen Funktion. Diese Funktion hier ist gegeben: f(x)=x4-5x3+6x2+4x-8 Das soll eine Standardfunktionsuntersuchung werden. Das ist eine ganzrationale Funktion, da sollten sich keine größeren Überraschungen ergeben. Ich habe schon mehrere Beispiele durchgerechnet in dieser Filmreihe, deshalb kann ich mich hier relativ kurzfassen. Was hier dazugekommen ist das Verhalten für x nahe 0, da sag ich gleich noch was dazu. Ansonsten läuft das wie gewohnt ab, also, hier eine Übungsaufgabe so richtig schön zu pauken. Fangen vorne an mit dem Definitionsbereich. Nun, da es sich hier um eine ganzrationale Funktion handelt, ist der Definitionsbereich, hier bezeichnet mit dem ID, gleich IR, also alle reellen Zahlen, das heißt, man kann für x alle reellen Zahlen einsetzen. Damit ist dieser Punkt erledigt. Der ist eigentlich mehr interessant bei anderen Funktionen, wenn die Brüche haben, Wurzeln, und so weiter. Haben wir hier nicht, also deshalb können wir gleich weiter machen. Symmetrie: Für ganzrationale Funktionen gilt ein Satz, der aus 2 Teilen besteht. Erster Teil ist: Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten im Funktionsterm gerade sind. Das ist hier nicht der Fall. Wir haben ein x3, 3 ist ungerade. Deshalb ist diese Funktion nicht achsensymmetrisch zur y-Achse. Zweiter Teil des Satzes lautet: eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Exponenten enthält. Das ist der Funktionsterm. Der enthält auch gerade Exponenten, also hier diese Hochzahl ist ein gerader Exponent. Das ist die 4, 4 ist gerade. Das bedeutet, diese Funktion ist auch nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Andere Symmetrien brauchen wir hier nicht zu betrachten, damit ist Punkt 2 ebenfalls erledigt. Kommen wir zu Punkt 3. Das Verhalten im Unendlichen richtet sich immer nach dem Summanden mit dem höchsten Exponenten an dem x. Ja, das sind ja die verschiedenen Summanden hier und x4 ist der Summand mit dem höchsten Exponenten. Der muss nicht immer vorne stehen, sage ich nur der Vollständigkeit halber, der kann auch irgendwo, sonst wo stehen. Also, da muss man eben immer kurz nachgucken. Wie x4 aussieht weißt Du ungefähr, hoffe ich. Das ist ungefähr wie eine Parabel, so ähnlich, nur ein bisschen steiler hier. Wenn man x-Werte einsetzt, die gegen +unendlich gehen, dann folgt daraus, dass x4 auch gegen +unendlich geht. Und wenn x gegen -unendlich geht, also wenn man immer kleinere Werte einsetzt, also welche die immer weiter links auf der x-Achse liegen, dann rechnet man ja minus mal minus mal minus mal minus - ist plus. Das bedeutet, die Funktionswerte dieses ersten Summanden hier, also von x4, gehen dann auch gegen +unendlich und damit gehen die Funktionswerte dieser gesamten Funktion hier auch gegen +unendlich. Ich könnte also hier auch f(x) hinschreiben und da auch f(x). Ich habe es jetzt anders gemacht, ich hoffe das ist kein Problem für Dich. Dann kommen wir zum Verhalten für x nahe 0 und ich glaube da sage ich dann im zweiten Teil was dazu. Bis dahin, viel Spaß, tschüs.

Informationen zum Video
Alle Videos & Übungen im Thema Ganzrationale Funktionen – Kurvendiskussion »