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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 3 (4)

Hallo! Wir sind immer noch bei der Kurvendiskussion. Hier ist der 4. Teil. Wir sind bei den Extrempunkten dieser Funktion hier. Wir haben einen Tiefpunkt schon herausgefunden. Nämlich den Tiefpunkt mit den Koordinaten -1/3 und -256/27. Das war also bei der Nullstelle der 1. Ableitung, die -1/3 ist. Aber es gibt eine 2. Nullstelle der 1. Ableitung. Die ist -3 und wir müssen gucken, ob bei -3 die hinreichende Bedingung erfüllt ist. Die hinreichende Bedingung besagt ja, wenn an der Nullstelle der 1. Ableitung, die 2. Ableitung ?0 ist, dann ist dort ein Extremum. Also müssen wir -3 in die 2. Ableitung einsetzen und erhalten 6×(-3), ja da ist die 2. Ableitung, +10. 6×(-3)=-18+10=-8. Das ist <0. Damit wissen wir, dass sich hier ein Hochpunkt befindet. Ja, um die y-Koordinate des Hochpunktes zu finden, müssen wir -3 in die Ausgangsfunktion einsetzen. Ja, und da ist es immer gut, wenn man ein bisschen den Überblick hat. Das haben wir schon gerechnet. Das ist nämlich eine Nullstelle der Ausgangsfunktion. Also ist der Funktionswert hier 0. Das bedeutet, wir haben also einen Hochpunkt mit den Koordinaten -3 und 0. Dann geht es weiter mit den Wendepunkten. Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die 2. Ableitung =0 ist. Dann müssen wir also mal die 2. Ableitung =0 setzten. Ich schreibe das nicht noch mal auf, hier die 2. Ableitung, die ist 6x+10. Na, vielleicht hier eben trennen. Jetzt geht es mit den Wendepunkten weiter. 6x+10=0 ist genau dann der Fall, wenn x=, ja 10 bringt man ja auf die andere Seite, hat man -10/6, kann man kürzen, ist also -5/3. Wenn die 3. Ableitung an dieser Stelle  ?0 ist, dann befindet sich an der Stelle -5/3 ein Wendepunkt. Das ist die hinreichende Bedingung. Also, wenn die 2. Ableitung =0 ist und die 3. ?0 ist, dann ist dort ein Wendepunkt. Ich kann jetzt in die 3. Ableitung, also für x -5/3 einsetzen, na und was erhält man da? Das ist =6, denn die 3. Ableitung bildet ja jedes x auf 6 ab und eben auch -5/3. Nun brauchen wir aber auch noch den Funktionswert an dieser Stelle, also die y-Koordinate des Wendepunktes brauchen wir noch. Und dazu müssen wir -5/3 in die Ausgangsfunktion einsetzten. Ich darf das eben Mal so unorthodox hier hinlegen. Wir haben dann -5/3, ich schreib das auch auf. Wahrscheinlich rechnest Du das nicht im Kopf, ich machs im Kopf. Aber dann siehst Du auch, wie Du das richtig eintippen musst in Deinen Taschenrechner. Hier immer auf die Klammern achten. Man muss immer sich überlegen, was wird womit multipliziert, wo muss man eine Klammer setzten. So, hier haben wir 5×(-5/3)2, ja und dann kommt das ^2 wieder hier außen an die Klammer dran, +3×(-5/3)-9. So, wie kann man das jetzt ausrechnen? Das ist natürlich f(-5/3), habe ich jetzt nicht hier hingeschrieben, ist egal, weißt Du auch so, dass es das ist. Das hier ist -125, ja 53 ist 125, darf man ruhig wissen, /27. Die sind uns ja schon öfter begegnet hier in der Kurvendiskussion. Das hier zum Quadrat ist dann positiv, das heißt, wir haben hier letzten Endes +. 25 steht im Zähler ×5 ist 125. Wir müssen mit 3 erweitern erhalten also +375/27 und hier haben wir, ja da kann man kürzen. Das ist -5-9. Das ist -14, also mit 27 erweitert, 14×27 ist -378/27 und das kann man jetzt zusammenrechnen und erhält -128/27 und das ist gleich, ich muss eben spicken hier, -4,740... . Also haben wir einen Wendepunkt mit den Koordinaten -5/3 und -128/27. Mehr Nullstellen der 2. Ableitung waren nicht da. Das ist unser einziger Wendepunkt, wie bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades üblich. So, und im letzten kleinen Teil kommt noch das Monotonieverhalten. Wird nicht immer gemacht. Den Teil kannst Du vielleicht überspringen. Den Graph werden wir auch noch zeichnen und dann ist die Kurvendiskussion hier erledigt. Bis dahin, viel Spaß, tschüss.

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