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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 3 (2)

Hallo. Es geht weiter hier mit der Kurvendiskussion. Wir haben schon den Definitionsbereich dieser Funktion bestimmt. Die Symmetrie bestimmt, bzw. sehen das die Symmetrie nicht vorhanden ist. Und das Verhalten im Unendlichen. Da steht's. Nun geht es weiter mit den Achsenschnittpunkten. Wir wissen schon das die y-Achse im Punkte (0|-9) geschnitten wird. Also was brauchen wir jetzt noch? Die Schnittpunkte mit der x-Achse. Das ist dort, wo die Funktionswerte gleich 0 sind. Also müssen wir einfach den Funktionsterm gleich 0 setzen und dann nachsehen, was wir für x einsetzen müssen, damit die Funktion oder damit der Term gleich 0 ist. So, und was jetzt entstanden ist. Ja, da geht wieder bei dir im Kopf die Schublade auf. Das ist eine Gleichung 3ten Grades. Was kennst du für Lösungsmethoden bei Gleichungen 3ten Grades? Zunächst einmal das x ausklammern. Das geht hier nicht, weil da die -9 kein x hat. Dann gibt es die Linearfaktorzerlegung. Ja, ich schreibe es noch mal eben hin. Das ist dann so was, wenn man solch eine Klammern da stehen hat. Das sind Linearfaktoren. Und wenn so was  gleich 0 ist, dann kann man quasi die Nullstellen ablesen. Sage ich jetzt nicht so viel zu, denn das geht hier in diesem Fall auch nicht. Zumindest wäre es sehr aufwendig, hier eine Linearfaktorzerlegung hinzukriegen. Dann bleibt noch die 3te Möglichkeit, die üblicherweise angeboten wird. Das ist eine Nullstelle raten. Dann, diesen Term hier durch x-Nullstelle teilen, dann kriegt man einen quadratischen Term heraus. Und den kann man dann auch gleich 0 setzen. Und diese Gleichung mit der pq-Formel lösen. Also eine Nullstelle raten. Na ja, man kann versuchen ein bisschen geschickt vorzugehen. Hier steht ja quasi eine 1 vor. Und dann haben wir hier eine 5 und eine 3. Das ist zusammen 9. Und da steht eine 9. Na ja, das könnte also, das sieht nach 1 aus. Dass wir hier eine 1 einsetzen müssen. Und richtig, wenn wir hier x 1 einsetzen, dann steht ja hier 1+5+3-9=0. Und damit haben wir eine Nullstelle schon gefunden. x1=1. Also x1, weil es die erste Nullstelle ist, die wir gefunden haben. Und die ist bei 1. So, eine Nullstelle haben wir schon. Und dann müssen wir jetzt durch x-Nullstelle teilen. Das nennt sich Polynomdivision. Und ich schreibe das mal knapp auf. Damit das in der Form sichtbar ist, wie du das gewohnt bist. Also wir haben (x3+5x2+3x-9)÷(x-Nullstelle), also  durch x-1. Ja wir müssen den ersten Summanden durch den ersten Summanden teilen. Das Ergebnis hierhin schreiben. Das ist x2. Dann müssen wir dieses Ergebnis mit dem gesamten Term hier, durch den geteilt wird, multiplizieren. Und das Ergebnis hierhin schreiben. Das ist dann x3. Ja, und x2×(-1)=-x2. Ja, und jetzt habe ich es wirklich sehr knapp gemacht. Hier kommt jetzt noch ein Minuszeichen hin. Ich hoffe, das ist noch irgendwie sichtbar. Denn wir müssen jetzt diesen Term hier von diesem Term, der geteilt wird, abziehen. Und das Ergebnis darunter schreiben. Ja, x3-x3=0 und x+5x2-(-x2)=6x2. Und dann können wir den nächsten Summanden noch dazu schreiben. Also 3x. Dann müssen wir wieder diesen ersten Summanden durch diesen ersten Summanden teilen. Das ist +6x. 6x mit dem gesamten Term hier multiplizieren. Also mit x-1 multiplizieren. Daraus ergibt sich dann 6x2-6x. Das wieder abziehen. Hier ergibt sich 0. 3x--6x=9x. Und dann kommt die -9 noch dazu. Und ich glaube, das sieht man so. Wenn man jetzt 9x÷x=9. Also +9. Und 9×(x-1)=9x-9. Wenn wir das abziehen, kommt 0 heraus. Dann hat es gerade so gereicht mit dem Platz. Wunderbar. Jetzt müssen wir noch herausfinden, was die Nullstellen von x2+6x+9 sind. Das können wir mit der pq-Formel machen. Zunächst mal muss ich x2+6x+9=0 setzen. Und dieser Term hier steht schon in Normalform. Die gesamte Gleichung steht in Normalform. Ich kann direkt die pq-Formel anwenden. Ich erkläre jetzt nicht noch mal genau die pq-Formel. Wenn du da Schwierigkeiten hast, dann kannst du bei den Filmen mit der pq-Formel nachgucken. Also wir haben ein x2/3. 2/3 deshalb weil wir ein x1 ja schon haben. Ist auf einer der anderen Tafeln. -p½ muss ich hinschreiben. p ist in dem Fall 6. Also -3. Denn, na ja, 6÷2 ist ja 3. Und dann kommt +-\sqrt((p/2)2-q). p/2, ja brauch ich jetzt gar nicht mehr hinschreiben eigentlich. Ist natürlich 6/2. Das ist also 32. Ist 9-q. Also -9. Das heißt, das Ganze hier ist 0. Und das heißt, auch wenn ich +-0 rechne, kommt immer das Gleiche raus. Es wird nur eine Lösung rauskommen. Und die ist, also die 2te Lösung, x2=-3. Damit kann man also sagen, das die Schnittpunkte mit der x-Achse dann bei x=1 und bei x=-3 liegen. Ja, im nächsten Film geht's dann um die Ableitungen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.

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