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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 3 (1)

Hallo! Es geht um eine Kurvendiskussion einer ganz rationalen Funktion. In den letzten beiden Beiträgen hab ich schon ganz rationale Funktionen diskutiert bzw. eine Funktionsuntersuchung durchgeführt. Das hab ich relativ ausführlich dargestellt. Hier soll es mal ein bisschen knapper werden.Das sind die Punkte die wir zu bearbeiten haben für eine Kurvendiskussion bzw. Funktionsuntersuchung. Vielleicht musst du nicht alle machen. Wenn etwas dabei ist, was du nicht brauchst kannst du ja diesen Teil überspringen. Unsere ganz rationale Funktion heißt f(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9. Und es geht los mit dem Definitionsbereich immer hier bezeichnet mit diesem D mit dem Doppelstrich. Und da es sich um eine ganz rationale Funktion handelt, und in einer ganz rationalen Funktion keine Wurzeln, keine Logarithmen, keine Brüche usw. vorkommen, ist diese Funktion überall definiert. Jede ganz rationale Funktion ist überall definiert und für uns heißt das, dass sie auf allen reellen Zahlen definiert ist, d. h. man kann für x alle Möglichen reellen Zahlen einsetzen. Das ist das Symbol für die reellen Zahlen - Thema durch! Punkt Nummer 2 ist die Symmetrie. Auch da kann man sich kurzfassen: Es gilt der Satz eine ganz rationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sie nur gerade Exponenten hat. Eine ganz rationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, also zum Nullpunkt des Koordinatensystems, wenn sie nur ungerade Exponenten hat. Das bedeutet: Diese Funktion hier, dieser Funktionsterm, hat gerade Exponenten, ja, x0 steht hier, das zählt auch als gerade, und ungerade Exponenten, hier steht ja noch quasi x1, deshalb ist diese Funktion weder achsen- noch punktsymmetrisch. Wir behandeln hier nur die Symmetrie zur y-Achse bzw. zum Ursprung. Diese Symmetrie ist nicht vorhanden. Punkt 2 hab ich ganz vergessen hier mit dem Pfeil in der Eile - ist damit auch erledigt. Dann haben wir das Verhalten im Unendlichen. Das Verhalten im Unendlichen einer ganz rationalen Funktion richtet sich immer nach dem Verhalten im Unendlichen des Summanden mit dem höchsten Exponenten. Das ist bei uns x3 und da darf man ruhig wissen wie x3 so ungefähr aussieht. Also hier ist die positive x-Achse, da ist die positive y-Achse, und x3 verläuft ungefähr so. Das bedeutet: Wenn x gegen Plus unendlich geht, also hierhin, dann gehen die Funktionswerte ebenfalls gegen Plus unendlich, und wenn x gegen Minus unendlich geht, dann folgt, dass die Funktionswerte gegen Minus unendlich gehen, das ist also diese Richtung hier, und da gehen die Funktionswerte gegen Minus unendlich. Ja. Dann kommen die Achsenschnittpunkte. Also hier sind wir jetzt. Man muss, um den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zu berechnen, einfach den Funktionswert bei 0 bestimmen, und ich glaube, das ist kein Geheimnis, wenn ich sage, wenn ich hier 0 einsetze steht da 0, da 0, da 0, -9 kommt heraus, also ist der Schnittpunkt mit der y-Achse der Punkt mit den Koordinaten 0 und -9. So. Im 2. Teil geht es dann weiter hier mit den Achsenschnittpunkten, und zwar mit denen der x-Achse. Viel Spaß damit bis dahin. Tschüss! 

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