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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 2 (4)

Hallo! Es geht weiter mit dem 4. und letzten Teil dieser Funktionsuntersuchung, dieser Kurvendiskussion. Das ist unsere Funktion, und wir sind bei den Wendepunkten angekommen. Da war noch eine Sache aus dem letzten Film. Nämlich, wir müssen noch klären, was bei x=3 ist, was die Extrempunkte da angeht. Da sage ich gleich noch etwas dazu. Erst mal hier die Wendepunkte: Wir müssen die 2. Ableitung gleich 0 setzen, weil die notwendige Bedingung für Wendepunkte ist, dass die 2. Ableitung gleich 0 sein muss. Also nur dort, wo die 2. Ableitung gleich 0 ist, können sich Wendepunkte befinden. Da steht noch die 2. Ableitung. Die wird jetzt also einfach gleich 0 gesetzt. Und das möchte ich jetzt diesmal ein kleines bisschen schneller machen, nachdem der letzte Film doch sehr ausführlich geraten ist. Ich möchte die p-q-Formel verwenden, deshalb muss ich erst durch 4 teilen. Das mache ich nicht im Einzelnen vor, das siehst du hoffentlich einfach so, wenn du ab und zu mal ohne Taschenrechner rechnest. Und wenn man das jetzt hier in die p-q-Formel einsetzt, erhält man x1 und x2 ist gleich ... -p/2, wenn man für p -4 einsetzt, erhält man 2. +/- die Wurzel aus ... (p/2)2 ist bei uns +4, nicht wahr? -4 ist ja p; p/2 ist also -2; (-2)2 ist also +4. Und dann wird q abgezogen, also hier -3. Dann habe ich hier die 1 stehen, unter der Wurzel. Die Wurzel aus 1 ist 1, deshalb ist x1 hier gleich 2+1, also 3. Und x2 ist 2-1, also 1. Dann muss man noch nachgucken, ob an diesen beiden Nullstellen der 2. Ableitung die 3. Ableitung ungleich 0 ist oder nicht. Und da unten steht noch die 3. Ableitung. Das heißt, ich muss jetzt einfach in die 3. Ableitung einmal 3 einsetzen, dann steht hier: 8×3-16. 8×3=24; 24-16=8. Und das ist ungleich 0. Das bedeutet, bei 3 ist die hinreichende Bedingung eines Wendepunktes erfüllt. Da ist also ein Wendepunkt.  Und wir hatten ja im letzten Film das Problem mit den Extrempunkten, dass die hinreichende Bedingung an einer Nullstelle der 1. Ableitung nicht erfüllt war. Das heißt, die 1. Ableitung war 0 und die 2. Ableitung war 0 an der Stelle. Jetzt haben wir festgestellt, die 3. Ableitung ist an dieser Stelle ungleich 0, und das, diese 3 zusammen, ist das hinreichende Kriterium oder die hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt. Oder auch Terrassenpunkt genannt, oder auch genannt "Wendepunkt mit waagerechter Tangente", also ein Wendepunkt, an dem die Ableitung gleich 0 ist. Das macht man normalerweise, wenn die hinreichende Bedingung für Extrema nicht erfüllt ist - man guckt, ob da ein Wendepunkt ist, oder speziell ein Sattelpunkt ist. Was passiert, wenn die hinreichende Bedingung für Wendepunkte dort auch nicht erfüllt ist, möchte ich hier in diesem Zusammenhang nicht erklären, weil es in der Schule in der Regel nicht vorkommt. Das kann man in anderen Zusammenhängen machen, aber hier soll das nicht das Thema sein. Was brauchen wir noch? Wenn wir jetzt wissen, dass bei 3 ein Wendepunkt ist, müssen wir x=3 in die Ausgangsfunktion einsetzen. Und da haben wir die freundlicherweise. Wir müssen also berechnen: f(3) - wir wollen ja wissen, wo der y-Wert an dieser Stelle ist, und den y-Wert kriegen wir ja mit der Funktion heraus, mit der ganz normalen Funktion. Also: 1/3×34-8/3×33+6×32. Und bitte, Leute, das geht im Kopf! Da kann ich hier auch eine kleine Zwischenrechnung machen. Dazu braucht man nun wirklich keinen Taschenrechner. Hier kann man eine 3 kürzen; bleibt noch 33 übrig; das ist bitte 27. (3×3=9; 9×3=27. Das ist Grundschulmathematik. Das darf man ruhig können. Ich sage das deshalb immer so, weil ich tagtäglich mit Menschen - mit Schülern - zu tun habe, die dafür einen Taschenrechner verwenden. Und deshalb sage ich das so deutlich.) Hier kann man wieder eine 3 kürzen. Dann steht da 8×9; das ist 72. 3×3=9; 6×9=54. (Das ist das kleine Einmaleins.) Also, +54. (Jetzt kann ich die 54 nicht mehr schreiben) 27+54=81; 81-72=9. Also dann: Das bedeutet, wir haben einen Wendepunkt (oder auch Sattelpunkt genannt; Wendepunkt mit waagerechter Tangente; oder auch Terrassenpunkt genannt) bei 3 und 9. Der Punkt hat die Koordinaten (3;9). So, was ist mit der anderen Nullstelle hier? Die ist bei x=1. Das müssen wir dann in die 3. Ableitung einsetzen. Und da kann ich mich kurzfassen: Wenn ich hier 1 einsetze, steht da 8-16. Das ist -8, und das ist ungleich 0. Das heißt, wir müssen jetzt noch ausrechnen, wie groß der Funktionswert bei x=1 ist. Tafeln haben wir ja genug. Dann kann es losgehen. Das kann man kaum aufschreiben, weil nichts zu rechnen ist. f(1) (14=1), wir haben also 1/3-8/3+6. Und weil du ja weißt, Brüche addiert man, indem man erst gleichnamig macht. Da muss ich also die 6 auf Drittel bringen - das geht bitte auch im Kopf. Das sind 18/3. Wir haben (1-8)/3=-7/3; 7/3+18/3=11/3. Und das ist der Funktionswert beim Wendepunkt. Also haben wir einen 2. Wendepunkt. Dann müsste ich den 1. auch W1 nennen, vielleicht. Und den 2. dann W2 - wer hätte das gedacht - ist dann bei 1 und 11/3. So, damit ist das schon mal erledigt mit den Wendepunkten hier. Das Monotonieverhalten wird nicht immer gemacht, in diesem Zusammenhang. Ich zeige es dir trotzdem. Falls du das machst, kannst du dir das angucken, wenn nicht, kannst du diesen Teil überspringen. Also, falls du nicht wissen möchtest, wie das Monotonieverhalten berechnet wird. Das geht folgendermaßen: Wir haben unser Koordinatensystem. Wir haben Nullstellen der 1. Ableitung. Und die sind bei 3 und bei 0. Bei 3 und bei 0 sind die Nullstellen der 1. Ableitung, das heißt, hier, und wenn da 3 ist, ist da die 1. Ableitung auch noch gleich 0. Jetzt gilt für die 1. Ableitung, dass diese Ableitung links der am Weitesten links liegenden Nullstelle entweder überall positiv ist oder überall negativ. Sie kann ja nicht positiv und negativ sein, denn dann müsste ja hier noch eine Nullstelle sein, und die ist ja nun nicht da. Um also herauszufinden, ob die Ableitung hier positiv oder negativ ist, muss man jetzt einen Funktionswert dieser Ableitung ausrechnen. Und zwar in diesem Bereich hier, also links der am Weitesten links liegenden Nullstelle. Man nimmt sich einfach irgendeine Zahl aus dem Bereich, setzt sie in die 1. Ableitung ein, und rechnet das Ergebnis aus. So einfach ist das. Dann stellt man fest, dass die Ableitung hier negativ ist. Also, sie wird in diesem Bereich liegen. Die 1. Ableitung ist dann negativ. Zwischen diesen beiden Nullstellen ist die Ableitung entweder überall positiv oder überall negativ. Um herauszufinden, ob sie dort positiv oder negativ ist, kann man einfach irgendeine Zahl zwischen 0 und 3 nehmen, in die 1. Ableitung einsetzen, dann wird man in diesem Fall feststellen, dass sie hier positiv ist. Das heißt, in dem gesamten Bereich von 0 bis 3 ist die 1. Ableitung positiv. Und dann kümmert man sich um die letzte Nullstelle, hier, und guckt, ob die Ableitung rechts der am Weitesten rechts liegenden Nullstelle positiv oder negativ ist. Das macht man, indem man einfach eine Zahl rechts der am Weitesten rechts liegenden Nullstelle nimmt, z. B. hier die 4 oder die 5, sie in die 1. Ableitung einsetzt, und man erhält dann einen positiven oder einen negativen Wert. Man wird hier feststellen, dass die 1. Ableitung dort positiv ist. Was heißt das nun? Dort, wo die 1. Ableitung negativ ist, fällt die Funktion. Dort, wo sie positiv ist, steigt die Funktion. In dem Fall haben wir eine einfache Aufteilung: Für negative Zahlen fällt die Funktion; für positive Zahlen (für positive x-Werte) steigt die Funktion. Das ist das Monotonieverhalten. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie man das aufschreiben kann. Ich denke, hier soll das mal damit genügen. Dann kommen wir zum letzten Punkt, nämlich dem Graphen der Funktion. Das kann man natürlich mit einem Programm machen. Aber man kann die Funktion auch verstehen und sich überlegen: Wo passiert denn hier das Interessante? Wir haben das Verhalten im Unendlichen, was hier mit einfließen kann. Sie geht hier gegen unendlich und da auch. Also, sie wird so irgendwie verlaufen. Symmetrie hatten wir nicht, das brauche ich also nicht weiter zu berücksichtigen. Die Achsenschnittpunkte waren nur bei 0 - also hier geht die Funktion durch den Nullpunkt. Ableitungen kann ich jetzt nicht gebrauchen. Extrempunkte, haben wir gesehen, sind einmal bei 0 - das ist ein Minimum, also muss sie da so irgendwie verlaufen. (So gebogen, irgendwas. Das weiß ich noch nicht.) Und wir haben den anderen interessanten Punkt hier bei 3 gehabt. (Warte mal, 3 ist hier.) Und da war ein Sattelpunkt, also ein Wendepunkt mit Steigung 0. Und der y-Wert an der Stelle war 9. (Ja, es kommt jetzt nicht ganz hin von den Größenverhältnissen her. Ach, ich mache das eben weg. Doch. Also, wenn hier 9 ist, dann ist ein Drittel davon da. Das ist 3. So.) Dann haben wir hier den Wendepunkt. Das bedeutet, die Funktion verläuft so - hier ist der Sattelpunkt - geht da weiter, und hier geht sie so nach oben. So ungefähr sieht der Graph der Funktion aus. Hier ist es ein bisschen knibbelig geworden. Aber es geht ja um das Prinzip. Ein Zeichenprogramm kann das natürlich besser als ich hier. Es kommt nur darauf an, dass die wesentlichen Merkmale hier mit dabei sind. Okay. Du weißt, was ich meine. Du kannst das schöner als ich. Viel Spaß damit! Tschüss!

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