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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 2 (1)

Hallo! Ein zweites Beispiel zur Kurvendiskussion oder auch Funktionsuntersuchung, wie man sagt. Hier ist eine Funktion gegeben: f(x) = 1/3 x4 - 8/3 x3 + 6x2. Diese Funktion soll untersucht werden. Ja, und das sind die Punkte, die man hier untersuchen muss. Es werden nicht immer alle Punkte gemacht, insbesondere Monotonieverhalten wird nicht immer gemacht, aber da sage ich noch was dazu, wenn es so weit ist. Ja, fangen wir einfach vorne an. Definitionsbereich wird manchmal hier im Zusammenhang mit den ganzrationalen Funktionen weggelassen. Wenn du das also nicht wissen willst, weil es bei dir in der Schule nicht gemacht wird, brauchst du diesen Film so lange nicht zu gucken, wie der Pfeil hier oben ist. Der Definitionsbereich einer Funktion überhaupt besteht aus der Menge der Zahlen, die man für x einsetzen kann. Und weil bei ganzrationalen Funktionen, hier das ist, eine ganzrationale Funktion, keine weiteren Einschränkungen existieren, ist also der Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen. Das heißt, man kann jede reelle Zahl für x einsetzen. Wenn man Wurzeln hat, zum Beispiel oder wenn man durch etwas teilt, durch einen Nenner teilt, in dem ein x vorkommt, gibt es ja da gewisse Einschränkungen. Da muss man da halt darauf achten, hier aber nicht. Deshalb ist der Punkt hiermit schon erledigt. Punkt Nummer 2 Symmetrie muss man auf jeden Fall beachten und da gibt es ja zwei Möglichkeiten. Ich reiße die erste Möglichkeit kurz an, um einfach das der Vollständigkeit halber Mal gesagt zu haben. Es gibt eine Definition für die Achsensymmetrie zur y-Achse. Das ist jetzt Punkt Nummer 1. Die sieht so aus. Wenn diese Gleichung hier für alle x erfüllt ist, das heißt immer, wenn man irgendeine Zahl aus dem Definitionsbereich für x einsetzt, dann muss diese Gleichung richtig sein. Also, wenn die dann richtig ist, dann ist diese Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Wie kann man sich diese Gleichung vorstellen? Man schreibt diesen Term hier hin, setzt ein Gleichheitszeichen und schreibt dann den Term quasi noch mal hin, aber mit dem Unterschied, dass man jetzt für x jeweils -x einsetzt. Dann entsteht hier eine Gleichung, und wenn die immer richtig ist, also immer heißt für alle x, dann ist diese Funkton achsensymmetrisch zur y-Achse. Punktsymmetrisch zum Ursprung wäre sie, wenn, diese Gleichung hier erfüllt wäre. Das heißt, man schreibt wieder den Term hin, dann schreibt man ein Minuszeichen, eine große Klammer und schreibt den Term auch noch hin, das heißt dieser hier mit eingesetztem -x. Wenn das dann für alle x richtig ist, das heißt, immer, wenn man für x eine Zahl einsetzt, ist es richtig, dann wäre diese Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Das brauchen wir aber nicht, denn es gibt ja diesen freundlichen Satz über ganzrationale Funktionen. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind. Also, die Exponenten sind diese Hochzahlen hier. Hier sehen wir, dass nicht alle Exponenten gerade sind. Die 3 ist nämlich nicht gerade und deshalb gibt es hier keine Achsensymmetrie zur y-Achse. Der Satz sagt auch, eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind. 4 und 2 sind nicht ungerade und deshalb haben wir hier keine Symmetrie. Das kann man dann einfach so da hinschreiben. Ja, wenn man ein Punkt setzt, muss man natürlich groß anfangen. Fall erledigt. Kommen wir gleich zum Verhalten im Unendlichen. Das bedeutet, wir überlegen uns, wohin gehen die Funktionswerte, falls x zunächst Mal, sagen wir Mal gegen +unendlich geht. Ja, gehen dann die Funktionswerte auch gegen +unendlich oder -unendlich oder was ist da los? Das möchten wir wissen. Wenn wir eine ganzrationale Funktion, wie so eine hier, vor uns haben, dann richtet sich das Verhalten im Unendlichen nur nach dem ersten Summanden, also dem Summanden mit dem höchsten Exponenten und der sollte ja normalerweise vorne stehen. Das ist dieser hier: 1/3 x4. Wir müssen uns also überlegen, was passiert, wenn wir immer größere Zahlen für x einsetzen. Wird dann dieser erste Summand hier immer größer oder immer kleiner? Das müssen wir uns überlegen. Wenn wir große Zahlen für x einsetzen, dann ist x4 auch groß. Wenn wir immer größere Zahlen einsetzen, wird x4 auch immer größer. Wenn man noch durch 3 teilt oder eben hier mit 1/3 multipliziert, dann ändert das an dieser Tendenz nichts. Das heißt, wenn x gegen +unendlich geht, dann geht dieser erste Summand auch gegen +unendlich und daraus folgt, dass dann die gesamte Funktion f(x) gegen +unendlich geht. Wenn x gegen -unendlich geht, das heißt, wenn wir immer kleinere Zahlen für x einsetzen, was folgt dann daraus für die Funktionswerte? Nun, wenn wir eine negative Zahl für x einsetzen, dann x4 rechnen, dann wird das ja wieder positiv. Und je weiter links, also von dir aus gesehen links, die Zahl auf dem Zahlenstrahl ist, desto kleiner ist sie auch, also -1 Million ist dann eine sehr kleine Zahl, desto größer wird x4, weil ja Minus mal Minus Plus ist. Der erste Summand wird auch dann immer größer, wenn man noch durch 3 teilt und deshalb geht f(x) gegen +unendlich, falls x gegen -unendlich geht. Wir brauchten nur den ersten Summanden betrachten. Der bestimmt das Verhalten im Unendlichen für die gesamte Funktion und deshalb ist hier schon die Folgerung passiert. Ja, dann soll hier erst mal in dem Teil Schluss sein. Wir machen dann weiter mit den Achsenschnittpunkten im zweiten Teil. Bis dahin, viel Spaß! Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Wie zeichnet man dazu dann den Grafen?

    Von Ilona Dahmen, vor etwa einem Jahr
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