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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Beispiel 1 (3)

Hallo, kommen wir zum letzten Teil dieser Kurvendiskussion, unserer freundlichen ganzrationalen Funktion hier. Wir haben uns schon bis Punkt Nummer 5 durchgearbeitet. Jetzt kommt Punkt Nummer 6, Extrempunkte. Zu den Extrempunkten fällt dir bitte sofort etwas ein, nämlich die hinreichende Bedingung und die notwendige Bedingung für Extrempunkte. Und man beginnt mit der notwendigen Bedingung, die besagt: Nur dort, wo die erste Ableitung gleich 0 ist, kann sich ein Extremum befinden. Dann müssen wir einfach mal die erste Ableitung gleich 0 setzen und mal gucken, was passiert. Erste Ableitung steht schon da. Wenn man die gleich 0 setzt, entsteht eine Gleichung, nämlich die Gleichung 9x2-4x+1=0. Das ist eine quadratische Gleichung. Die möchte ich mit der pq-Formel lösen. Dazu muss ich erst durch 9 teilen, also diese Gleichung in die Normalform bringen. Bitte hier jeden Summanden durch 9 teilen, nicht vergessen, und 0 wird auch durch 9 geteilt, und das ist wieder 0. Du kannst es natürlich auch mit allen möglichen anderen Formeln hier machen, mit der Mitternachtsformel, oder allgemeine Lösungsformel genannt, oder quadratische Ergänzung. Weiß der Teufel was. Kein Problem, ich mache es mit der pq-Formel. Ich habe jetzt die Normalform und kann jetzt einsetzen. Ja, ein bisschen knapp hier. Also, wir haben x1/2=-p/2, wenn man hier für p -4/9 einsetzt, ist das also +2/9 +- die Wurzel aus (p/2)2, das ist bei uns 4/81 und -q kommt ja dann noch hin, also -1/9 und da ich hier schon 1/81 stehen habe, dann möchte ich die Neuntel gleich auf 81zigstel bringen, das heißt mit 9 erweitern. So viel Bruchrechnung darf man ruhig auch in der Oberstufe können, dass man das direkt sieht. So, und auch hier braucht man nicht zum Taschenrechner greifen, denn 4/81-9/81, das ist eine negative Zahl, die da raus kommt. Wurzeln aus negativen Zahlen haben wir innerhalb der reellen Zahlen nicht. Wir bewegen uns ja innerhalb der reellen Zahlen hier, und deshalb ist das hier nicht Element der reellen Zahlen, und deshalb ist diese Gleichung nicht lösbar. Und das heißt, dass die erste Ableitung keine Nullstellen hat, und das bedeutet wiederum, dass wir keine Extrempunkte haben. Denn, wenn die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, das heißt die erste Ableitung 0 ist, dann gibt es auch keine Extrempunkte. Ja, dann ist aber auch hier schon der Fall direkt abgeschlossen, was die Extrempunkte angeht und wir können weitermachen mit den Wendepunkten. So, der Pfeil ist dann hier. Um die Wendepunkte zu bestimmen, brauchen wir zunächst einmal wieder die notwendige Bedingung, diesmal natürlich für Wendepunkte. Das bedeutet, die notwendige Bedingung für Wendepunkte besagt, die 2. Ableitung muss 0 sein, also nur dort, wo die 2. Ableitung gleich 0 ist, können sich Wendepunkte befinden. 18x-4=0. Das ist ja die zweite Ableitung hier. Und ich glaube, das muss ich nicht weiter erklären hier, was passiert x=9/2. So, notwendige Bedingung ist erfüllt. Wir brauchen jetzt die hinreichende Bedingung. Diese Bedingung besagt: Wenn die 2. Ableitung gleich 0 ist und die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist, dann befindet sich dort ein Wendepunkt. Dann muss man einfach 2/9 in die 3. Ableitung einsetzen, das mache ich jetzt einmal, also f'''(2/9)=18. Na ja, wer hätte das gedacht, die 3. Ableitung ist ja überall gleich 18, so auch der Stelle 2/9. Hier wollte nur der Vollständigkeit halber hier zeigen, was gemacht wird. Natürlich hätte man das auch so sehen können. 18 ist ungleich 0 und deshalb ist die hinreichende Bedingung an der Stelle 2/9 erfüllt. Da wir den Wendepunkt bestimmen möchten, brauchen wir jetzt den y-Wert an dieser Stelle. Ein Punkt hat 2 Koordinaten. Jetzt fehlt noch die 2. Koordinate. Da muss man 2/9 hier in diese Funktion einsetzen. Kannst du auch mit dem Taschenrechner machen. Ich mache es eben so vor, ist auch keine Kunst ein bisschen Bruchrechnung, ich wiederhole mich, so viel Bruchrechnung darf auch in der Oberstufe sein. Wenn man hier 2/9 hoch 3 nimmt, dann kann man hier, weil dort eine 3 vorne steht, mit 3 kürzen, 9×9=81×3=243, also kriegen wir hier 243igstel. 23=8-(2/9)2 sind 4/81, wir müssen auf 243igstel erweitern, also mit 3 erweitern. 4×3=12 und dann noch mal -2, also -24/243. x, also 2/9, auf 243igstel erweitern, sind dann, muss man mit 27 erweitern, +54/243-243/243 ist 8-24=-16+54=38-243=-205. -205/243 ist die exakte Zahl, der y-Wert des Wendepunktes. Da gibt es einen Näherungswert, ich schreibe den eben ab, das ist ungefähr, das schreibe ich mal darüber hin -0,84 oder so. Das ist der y-Wert des Wendepunktes, hier ist der x-Wert des Wendepunktes. Damit sind wir hier, was die Wendepunkte angeht, fertig. Jetzt kommt noch der Graph der Funktion. Auch dazu möchte ich eine Kleinigkeit zum Taschenrechner sagen. Manche sagen, ich mache das alles mit dem Taschenrechner, ich brauche das also so nicht zu wissen. Es geht hier darum, dass du den Graphen verstehst, dass du weißt, wo die markanten Punkte des Graphen sind, wo die wichtigen Punkte sind quasi, und nicht, dass du etwas in den Taschenrechner eingibst. Das kann man natürlich auch, wenn man einen sehr schönen, exakten Graph haben will, dann kann man das sicher mit einem Computerprogramm machen oder mit dem Taschenrechner, aber um das zu verstehen, kann man das nur im Kopf machen. Verstehen kann man nur mit dem Kopf, nicht mit dem Taschenrechner. Wir haben schon festgestellt, der Defitionsbereich war klar, Symmetrie haben wir keine, zumindest keine zur x-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung. Verhalten im Unendlichen haben wir uns auch schon überlegt. Die y-Werte gehen gegen + Unendlich, falls x gegen + Unendlich geht. Falls x gegen - Unendlich geht, gehen die y-Werte gegen - Unendlich. Achsenschnittpunkte hatten wir, also der y-Achse war bei -1, Schnittpunkt der x-Achse bei ungefähr 0,8, also hier ungefähr, da geht der Funktionsgraph durch. Extrema hatten wir keine, aber einen Wendepunkt, nämlich, x-Wert ist 2/9, also 0, Periode 2, das ist hier ungefähr, und -0,84, also da ungefähr, würde ich sagen. Da ist der Wendepunkt, und da kann man auch den Graphen zeichnen, so müsste das aussehen und da geht es weiter nach oben. So, das war es. Die erste Kurvendiskussion hier mit unserer ganzrationalen Funktion, erstes Beispiel. Es folgen weitere Beispiele, aber hier sind wir erst einmal fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

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