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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe 4

Hallo! Wenn du schon Filme von mir gesehen hast, dann wirst du wissen, dass ich ziemlich oft viel erzähle und die Erklärungen sehr ausführlich mache. Das ist in diesem Film anders, ja, das kann ich auch. Jetzt pass auf.  Es geht um eine Kurvendiskussion hier, kurz und knackig. Und zwar ist die folgende Funktion gegeben, hier in faktorisierter Form, da in Normalform, das habe ich gleich mal schon ausgerechnet. Und wir wissen, es handelt sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades, da der höchste Exponent eine 3 ist. Die sieht ungefähr so aus, rein strukturell gesehen. Und das soll hier mal zur Orientierung dienen. Dann gehe ich hier einfach mal die Liste durch. Es geht also um Ableitungen, das müssen wir als Erstes machen. Das läuft auch ganz gerade durch, ja, du kannst hier drauf die Summenregel anwenden auf den 1. Summanden hier zum Beispiel. Dann weiter, die Faktorregel und auf x3 die Potenzregel, das ist immer das Gleiche. Und das sind die Ableitungen, die dabei herauskommen. Zur Symmetrie ist zu sagen, wir wissen, es handelt sich um eine ganzrationale Funktion. Dafür gelten die folgenden beiden Sätze: Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn sie nur gerade Exponenten hat, eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn sie nur ungerade Exponenten hat. Diese Funktion hat gerade und ungerade Exponenten, von daher ist sie nicht symmetrisch, Punkt abgehandelt. Nullstellen bedeutet Folgendes: Wir haben hier die faktorisierte Form. Wir wissen, einer der Faktoren muss 0 sein, damit die Funktion eine Nullstelle hat. Und da kann man die Nullstellen eigentlich direkt ablesen. Die 1. Nullstelle ist 0, die 2. Nullstelle, ja, da muss 30-2x 0 werden, das ist bei 15 der Fall und im 2. Faktor hier muss also x=10 sein, damit die ganze Funktion gleich 0 ist. Das sind die 3 Nullstellen, einfach ablesen, fertig. Die Extremstellen, na, wir brauchen die hinreichende Bedingung, das bedeutet, wir müssen die 1. Ableitung gleich 0 setzen, diese Nullstellen der 1. Ableitung setzen wir jeweils in die 2. Ableitung ein. Und gucken, ob dann die Funktion, also diese 2. Ableitung an dieser Stelle positiv oder negativ ist. Wenn sie negativ ist, handelt es sich um einen Hochpunkt, wenn sie positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Wir wissen nun, dass der Hochpunkt H die Koordinaten ca. 3,9 hat, das ist eine Nullstelle hier, diese Ableitung. Übrigens, wie kommst du zu den Nullstellen der Ableitung? Naja, es ist ein quadratischer Funktionsterm, du kannst das lösen wie in der Mittelstufe, quadratische Gleichung sollte kein Problem sein. Der entsprechende Funktionswert hier an der Stelle 3,9 ist 1056. Also die Nullstelle, die man hier ausgerechnet hat in der 1. Ableitung und die man in die 2. Ableitung eingesetzt hat, also hier die 3,9. Die Nullstelle muss man dann in die Ausgangsfunktion einsetzen, um den Funktionswert auszurechnen. Hier also 1056. Die 2. Nullstelle der 1. Ableitung liegt bei ca. 12,5 und der dazugehörige Funktionswert ist -315. Dann ist das also hier der Tiefpunkt. Dann kommen wir zu den Wendestellen bzw. Wendepunkten. Wir haben nur einen einzigen Wendepunkt. Denn notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die 2. Ableitung gleich 0 ist. Diese 2. Ableitung ist eine lineare Funktion, sie hat nur 1 Nullstelle. Diese Nullstelle der 2. Ableitung müssen wir laut hinreichender Bedingung noch in die 3. Ableitung einsetzen, wenn die 3. Ableitung ? 0 ist, befindet sich an dieser Stelle eine Wendestelle. Die 3. Ableitung ist gleich 24, damit ? 0. Und deshalb können wir uns das Einsetzen quasi sparen, zumindest müssen wir nichts rechnen, wir müssen das nur in Gedanken einsetzen. Die Nullstelle der 2. Ableitung befindet sich bei ca. 8,3, der dazugehörige Funktionswert dann bei 370, den wir dadurch bekommen, indem wir die Nullstelle der 2. Ableitung in die Ausgangsfunktion einsetzen und den Funktionswert dort ausrechnen. Den Graphen kann man dann so zeichnen, indem man hier die Nullstellen einträgt zunächst mal, und den Hoch- und Tiefpunkt ebenso den Wendepunkt. Dann kann man das verbinden und hat den Graphen. Vielleicht, wenn du das von Hand zeichnen sollst, brauchst du noch ein paar Zwischenwerte, die du dann einfach mit einer Wertetabelle ermittelst. Aber wahrscheinlich wirst du entweder einen klitzekleinen Taschenrechner haben, mit dem du dann auf so einem Bildschirm irgendwas sehen musst oder du kannst einfach ein Computerprogramm benutzen wie zum Beispiel Geogebra und das dann schön in groß darstellen. Wie auch immer, damit ist diese Kurvendiskussion abgeschlossen. Wie du also siehst, kann ich das auch in schnell und nicht nur in langsam. Viel Spaß damit, tschüss.    

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1 Kommentar
  1. Default

    Hallo, ich kriege bei der Berechnung des Wendepunktes einen anderen Funktionswert raus. Nachdem ich die Nullstelle 8,3 ermittelt habe, muss ich diese doch in die Ausgangsfunktion einsetzen. Wenn ich das nun tue :(30-2x8,3)x(20-2x8,3)x8,3 , ist das Ergebnis bei mir 378,15... HILFE!

    Von Alishya, vor etwa 4 Jahren
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