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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe 3

Hallo! Es geht weiter in der Kurvendiskussion hier, und zwar mit Punkt Nr. 4, den Extremstellen (das kommt jetzt erst mal weg, das brauche ich nicht mehr). Was Extremstellen sind, weißt du. Wir brauchen für die Extremstellen die notwendige und die hinreichende Bedingung eigentlich nur, wenn wir Extremstellen nachweisen wollen, die hinreichende...aber da ja die notwendige Bedingung mit drin ist, zeige ich das hier noch mal. Die notwendige Bedingung ist f'(x)=0 und die hinreichende Bedingung besteht bitte aus zwei Teilen, nämlich f'(x)=0 und f''(x) - hier sind zwei Striche- ?0. Du kannst auch das Vorzeichenwechselkriterium nehmen, ich nehme das jetzt Mal hier mit der 2. Ableitung als hinreichende Bedingung. Also die hinreichende Bedingung besteht aus zwei Teilen, ich sehe das immer wieder, dass da steht, f''(x)?0, das sei die hinreichende Bedingung - das ist falsch, das ist sie nicht. Sie besteht aus zwei Teilen, das ist wie beim Heiraten, das kann auch nicht einer alleine, das können nur zwei (zumindest in Deutschland, woanders vielleicht auch mehr) aber wir brauchen mindestens zwei Leute, und die Bedingung hat eben auch zwei Teile. So, deutlicher wird es nicht. Was müssen wir machen? Wir fangen damit an, dass wir die 1. Ableitung =0 setzen, das ist hier also. Ich schreibe das der Vollständigkeit halber mal auf, so geht das immer los. 1- Ableitung=0, also 12x²-200x+600, das soll =0 sein, das ist jetzt hier die Rechnung dazu. Und wenn wir das =0 setzen und x-Werte herausbekommen, Nullstellen herausbekommen, dann sind das die Stellen, an denen sich Extrema befinden können. Das ist die Bedeutung der notwendigen Bedingung, und ob da wirklich welche sind, finden wir dann mit der hinreichenden Bedingung heraus, hoffen wir zumindest, dass wir das dann herausfinden. Es müssen übrigens nicht alle Extremstellen durch dieses Verfahren auffindbar sein. Das ist aber ein Randproblem, meistens sind sie so auffindbar, und an die Sache halte ich mich jetzt auch. Nun, das hier ist eine quadratische Gleichung, ich glaube, das zeige ich nicht großartig. Ich gebe einfach die beiden Lösungen an, die da herauskommen. Quadratische Gleichungen kannst du lösen. Wir haben (25±\sqrt(175))/3. Das sind die beiden Nullstellen der 1. Ableitung, und nur an diesen Stellen können sich Extrema befinden. Wenn wir dann wissen wollen, ob da auch tatsächlich welche sind, können wir beide Werte in die 2. Ableitung einsetzen, das bedeutet: Wir rechnen einfach f''(25), ich fange mit +\sqrt(175) an, /3. Nimm hier bitte die exakten Werte, rechne mit den exakten Werten weiter, das kann man ruhig hinschreiben. Du wirst es eh in den Taschenrechner eingeben und nicht von Hand ausrechnen. Das ist hier auch sinnvoll, das ist auch gut so. Wenn du Endergebnisse bekommst und die rundest, dann ist das wahrscheinlich nicht so schlimm, das ist ok, vor allem wenn du dann unendlich viele Nachkommastellen hast und der Ausdruck, den du erhältst, vielleicht sehr kompliziert ist. Dann kann man das ruhig runden am Ende, aber wenn du mit Werten weiter rechnest, dann solltest du die bitte nicht runden, falls das irgendwie möglich ist, sie nicht zu runden, sondern mit den exakten Werten weiterzurechnen, denn ansonsten könnte es passieren, dass du hier ab dem gerundeten Ergebnis alles falsch rechnest, und das wollen wir ja vermeiden. Also, wenn wir das jetzt in die 2. Ableitung eingeben, dann erhalten wir - die 2. Ableitung ist ja 24x-200, das schreibe ich jetzt nicht auch noch mal auf - wir stellen dann fest, dass dieses Ganze hier größer als 0 ist. Wenn man das ausrechnet, 24×dieser Wert-200>0, und deshalb können wir hier davon ausgehen, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt. Wir gehen nicht nur davon aus, das ist auch so. Wir müssen jetzt als Nächstes unseren gefundenen Wert, also den hier, in die Ausgangsfunktion einsetzen. Wir rechnen also f((25+\sqrt(175))/3). Auch den Term schreibe ich jetzt nicht hin, denn ich müsste, um das einzusetzen, hier natürlich 4(25+\sqrt(175))/3)³-100×. Auch den Term schreibe ich jetzt nicht hin, denn ich müsste um das einzusetzen hier natürlich dann 4×(25+\sqrt(175)/3)3-100×  diesen ganzen Sermon wieder ^2....das wird ein elend langer Ausdruck, den schreib ich nicht hin, du weißt ja, was es bedeutet, für x eine Zahl einzusetzen. Deshalb gebe ich hier einfach einen gerundeten Wert an, ganz genau geht es hier in diesem Fall nicht, da ja \sqrt(175) eine irrationale Zahl ist. Ich habe mir das irgendwo notiert, was da herauskommt, wenn ich das jetzt finde, wäre das toll...Es kommt ungefähr -315,5652 heraus. In dem Fall merke ich mir einfach -315, so ungefähr zumindest. Das ist die Stelle, an der sich der Tiefpunkt befindet. Deshalb können wir jetzt aufschreiben: Der Tiefpunkt T hat die Koordinaten (25+\sqrt(175))/3, das ist die x-Koordinate, und die y-Koordinate ist ca. -315,5652. So, und das Gleiche macht man jetzt mit der anderen Nullstelle der 1. Ableitung. Dann darf ich das jetzt zudecken wieder, das ist jetzt erledigt. Die andere Nullstelle der 1. Ableitung ist ja (25-\sqrt(175))/3. Auch das muss ich jetzt in die 2. Ableitung einsetzen, also f' von dieser Zahl, das wird ausgerechnet, und dann stellen wir fest, dass das also kleiner als 0 ist. Das bedeutet, dass sich an dieser Stelle ein Hochpunkt befindet, ein Maximum befindet. Und wenn man das jetzt in die Ausgangsfunktion einsetzt, also rechnet f((25-\sqrt(175)/3), dann erhält man ca. 1056,3059. Ich habe hier einfach mal auf vier Stellen gerundet, ich weiß nicht, ob das so das Richtige ist, ob das sachgemäß ist. Wenn ich hier keine andere Angabe habe, kann man mir das auch nicht zum Vorwurf machen. Wenn es eine Sachaufgabe ist, muss man immer entscheiden: Inwieweit ist das sinnvoll? Aber hier habe ich jetzt einfach eine Kurvendiskussion zu machen, und ich entscheide jetzt einfach: die 4. Stelle nach dem Komma soll mal reichen. Das bedeutet also: der Hochpunkt H hat die Koordinaten (25-\sqrt(175)/3 - da geht die runde Klammer nicht zu, sondern es kommt hier ein Strich, und hier die zweite Koordinate 1056,3059, ungefähr, gerundeter Wert. So, und wenn wir jetzt das haben, ist damit noch nicht Schluss, denn wir müssen jetzt erst mal überlegen, ob das überhaupt irgendwie Sinn macht, was wir da ausgerechnet haben. Und zwar nehmen wir uns wieder hier diesen Graphen, diese ganz einfache Skizze, und gucken mal, ob das irgendwie hinkommt. Wir wissen ja, dass diese Funktion strukturell einen solchen Verlauf hat, das heißt, wir wissen, der Hochpunkt muss sich links des Tiefpunktes befinden. Wir haben hier für den Hochpunkt 25-\sqrt(175) und für den Tiefpunkt 25+\sqrt(175). Das heißt, das ist hier ist die größere Zahl, das ist die kleinere Zahl. Damit ist also die x-Stelle des Hochpunktes tatsächlich links von der x-Stelle des Tiefpunktes. Zweiter Punkt ist, was ich hier an den Zahlen auch direkt sehen muss, dass der Tiefpunkt kleiner ist als der Hochpunkt. Sollte sich das da umgekehrt ergeben, habe ich irgendwo was falsch gemacht. Also hier in dem Fall, Funktion 3. Grades, der Tiefpunkt muss unbedingt kleiner sein als der Hochpunkt. Und dann kann man sich auch noch überlegen, ob es sich hier um lokale oder globale Maxima und Minima bzw. Hoch- und Tiefpunkte handelt. Und da wir ja wissen, dass eine Funktion 3. Grades entweder von -Unendlich kommt und nach +Unendlich geht, oder aber von +Unendlich kommt und nach -Unendlich geht, nur diese beiden Möglichkeiten gibt es für Funktionen 3. Grades, dann wissen wir auch, dass diese Maxima und Minima bzw. Hoch- und Tiefpunkte, die wir hier gefunden haben, nur lokale Hoch- und Tiefpunkte sein können. Denn wenn die Funktion sowieso Werte bis +Unendlich annimmt, dann wird es einen Funktionswert geben, der größer ist als dieser Hochpunkt, und damit ist es hier ein lokaler Hochpunkt, ein lokales Maximum. Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt. Ja, und damit ist das Thema Extrema hier an der Stelle abgeschlossen für diese Funktion. Wendestellen und Graph kommen noch, bis dahin viel Spaß, tschüss!

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5 Kommentare
  1. Giuliano test

    @ all:
    Ich möchte diese Frage hier einmal aufklären.
    Man kann die qudratische Gleichung mit verschiedenen Methoden lösen. Der erste und wichtigste Schritt ist hierbei das Teilen durch 12, d.h.
    12x²-200x+600=0 | : 12
    x²-16_2_3 x + 50 = 0
    Jetzt kann man verschiedene Verfahren zum Lösen qudratischer Gleichungen anwenden: pq-Formel, qudratische Ergänzung oder Satz von Vieta.
    Ich werde hier die pq-Formel einmal anwenden und euch zeigen, wie die obige Formel mit dem Bruch entstanden ist:
    x²-16_2_3 x + 50 = 0 | pq-Formel p= - 16_2_3 und q=50
    x1,2= 8_1_3 +- Wurzel (19_4_9).
    Die Ergebnisse für x1 und x2 sind nicht ganzzahlig und müssten daher gerundet werden. Außerdem stören die Bruchzahlen beim Aufschreiben. Wir haben zwei Probleme:
    (1) Runden wir die Ergebnisse, erhalten wir ungenaue Ergebnisse beim Weiterrechnen.
    (2) Die Kommazahl ist lang und aufwendig aufzuschreiben. Hier bekommt man dann Platzprobleme.

    Aus diesen zwei Gründen hat sich der Tutor für eine ganzzahlige Variante entschieden. Diese entsteht so:
    x1,2= 8_1_3 +- Wurzel (19_4_9)
    |Vorne 1_3 und in der Wurzel 1_9 ausklammern.
    x1,2= 1_3 *25 +- Wurzel (1_9 * 175)
    | Wurzelgesetze
    x1,2= 1_3 *25 +- Wurzel (1_9)* Wurzel ( 175)
    |Wurzel ziehen
    x1,2= 1_3 *25 +- (1_3)* Wurzel ( 175)
    |1_3 ausklammern
    x1,2= 1_3 *[25 +- Wurzel ( 175)]
    |3 in den Nenner schreiben
    x1,2= 25 +- Wurzel ( 175)
    -------------------
    3
    Dadurch haben wir eine ganzzahlige Variante, die platzsparend und ausreichend genau für die Einsetzungen ist.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    was ist das denn?!:D
    wieso nimmt man nicht die p/q formel?!
    total unötig so viel zu schreiben........

    Von Levincoenen, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Ich verstehe leider auch nicht wie man auf diese bruchgleichung kommt, die p-q Formel habe ich bis jetzt immer anders gesehen, gibt es noch eine andere Möglichkeit?

    Von Saskia Hubert, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Die 25 +/- Wurzel 175 / 3 sind das Ergebnis aus der quadratischen Gleichung, die hier bei der ersten Anleitung entsteht. Also ein x Wert den man dann in die 2te Ableitung einsetzt.

    Von The Borg, vor etwa 3 Jahren
  5. Img 20120210 wa0001

    Wie kommt man denn von der ersten Ableitung auf f'' (25 - Wurzel aus 175)/3 ?

    Von Dominique Julia K., vor mehr als 3 Jahren
04269470c6b53b8dc4171bec055c02cf 1 Arbeitsblätter zum Video Anzeigen Herunterladen
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