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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe 2

Hallo, kommen wir zu der Symmetrie, zum Symmetrieverhalten unserer Funktionen. Also, was ist dazu zu sagen. Vielleicht bemerkst du, ich habe hier diese kleine Zeichnung geändert, einfach aus dem Grund, weil ich die vorher so gezeichnet habe, als ob der Graph so durch den Nullpunkt geht. Das muss er nicht, das ist die etwas allgemeinere Zeichnung hier. Und das wird jetzt hier interessant, und zwar wenn wir nämlich die Symmetrie untersuchen. Wie gesagt, geht es hier in diesem Zusammenhang nur darum Punktsymmetrie zum Ursprung, also zum Nullpunkt des Koordinatensystems oder Achsensymmetrie, und zwar zur y-Achse des Koordinatensystems, es gibt auch andere Symmetrien, aber nur diese beiden hier wollen wir untersuchen. Und um das zu untersuchen, können wir folgendes machen. Die Achsensymmetrie zur y-Achse ist folgendermaßen definiert: f(x)=f(-x). Wenn das gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch, wenn sie achsensymmetrisch ist, gilt: f(x)=f(-x). Das ist die ganz allgemeine Definition. Bei der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung das Gleiche, also was ähnliches meine ich: f(x)=-f(-x). Wenn das gilt, ist die Funktion punktsymmetrisch, wenn sie punktsymmetrisch ist, gilt das hier. Und wenn du also keine weiteren Hinweise hast, aus der Aufgabe, aus der Aufgabenstellung, aus dem Sachzusammenhang etc., dann solltest du nach diesen Definitionen hier vorgehen, um das Symmetrieverhalten zu untersuchen. Das ist übrigens eine Methode, die immer funktioniert und deshalb zeige ich sie. Obwohl man sich das jetzt hier in dem Fall etwas einfacher machen kann, aber ich zeige die ganz allgemeine Methode. Wenn man das jetzt zeigen möchte, Achsensymmetrie, ich weiß es schon, die Funktion ist nicht achsensymmetrisch, deshalb zeig ich das jetzt gar nicht. Ich zeige die Punktsymmetrie, es ist sowieso von der Überlegung her fast dasselbe, was da zu machen ist. Also ich zeige, wie man prüft, ob diese Funktion punktsymmetrisch ist. Auf die eine Seite hier schreibe ich den Funktionsterm. Das kürze ich jetzt mal so ab, weil ich das sonst alles nicht hinkriege. Einfach den Funktionsterm, den hier, abschreiben so, wie er ist. Auf die andere Seite der  Gleichung schreibe ich ein - und mache eine große Klammer auf. Denn ich werde jetzt hier fast den Funktionsterm hinschreiben, nur mit der Änderung, dass ich für x nicht x schreibe, sondern -x. Und dann soll vor das Ganze noch ein -. Und das mache ich so, - hinschreiben, große Klammer und hier hinten wird diese große Klammer wieder zugehen. Dann kann ich alles abschreiben, bis eben auf die Tatsache, dass ich statt x -x hinschreibe und hier mache ich das jetzt. -x muss dann immer mit Klammer geschrieben werden, denn ansonsten entsteht Unsinn. Ich habe schon sehr viele Versionen gesehen wie da Klammern hin kommen, zustande kommen. Das hier ist die richtige Version und alle anderen, behaupte ich jetzt mal, sind falsch. Zumindest wenn du die jetzt machst, dann ist es richtig. Einfach um -x eine Klammer drum und dann erst alle anderen Potenzen und sonst was, was da noch passieren kann. Dann hier den Rest abschreiben. Alles, was kein x hat, einfach abschreiben. Da kommt das nächste x hier, mal x². Und für x wollte ich  -x einsetzen, also steht hier einfach (-x)². Dann haben wir noch +600, passt kaum hin, +600 mal wieder (-x) und das bleibt einfach so stehen. Und dann geht selbstverständlich noch die ganz große Klammer zu. Wenn man das jetzt so hingeschrieben hat, dann hat man eine Gleichung, diese Gleichung kann man auflösen. Und jetzt gibt es 2 Möglichkeiten, die da passieren können. Die 1. Möglichkeit ist, die ganze Gleichung löst sich in Lust und Wohlgefallen auf. Das bedeutet, wir haben nach Berücksichtigung hier der Sache, dass - und - + gibt usw., haben wir dann 2 identische Ausdrücke da stehen. Dann können wir was abziehen auf beiden Seiten oder sonst was machen. Hinterher kommt 0=0 raus oder du kannst auch aufhören, wenn du 2 identische Ausdrücke da stehen hast, auf beiden Seiten der Gleichung. Dann ist die Gleichung immer richtig. Und wenn die dann eben immer richtig ist, dann ist die Funktion punktsymmetrisch. Achsensymmetrisch ist es, wenn du dieses - hier einfach weglässt und diese Definition verwendest. Das sollte jetzt kein großes Problem weiter sein. Ja, wenn das nicht rauskommt, dann bekommst du einen Widerspruch. Es werden da 2 unterschiedliche Terme stehen, die du nicht in Einklang bringen kannst. Dann steht dann irgendwie so was -x=+x oder so, und das ist eben nicht für alle x richtig. Das ist vielleicht für x=0 richtig, ist es sogar, aber eben nicht für alle x. Das wird ein Widerspruch sein, und wenn du das erreichst, dann ist die Funktion nicht punktsymmetrisch. Um ganz allgemein zu zeigen, dass eine Funktion weder punkt- noch achsensymmetrisch ist, musst du hier eben beide Gleichungen hinschreiben und beide Gleichungen zum Widerspruch führen. Und dann weißt du eben hinterher, dass die Funktion nicht symmetrisch ist. Um ganz allgemein zu zeigen, dass eine Funktion weder punkt- noch achsensymmetrisch ist, musst du hier eben beide Gleichungen hinschreiben und beide Gleichungen zum Widerspruch führen. In unserem Fall handelt es sich hier bei diesem Funktionsterm um eine ganz rationale Funktion. Da habe ich geschmiert, das ist nicht gut. Es handelt sich um eine ganz rationale Funktion und dafür, für ganz rationale Funktionen, gilt dieser kleine, unscheinbare Satz. Also ich habe den nur mal angedeutet, wenn der Funktionsterm einer ganz rationalen Funktion nur ungerade Exponenten enthält, dann ist die Funktion punktsymmetrisch. Oder dann folgt daraus die Punktsymmetrie, deshalb habe ich das groß geschrieben. Wenn der Funktionsterm einer ganz rationalen Funktion nur gerade Exponenten enthält, dann folgt daraus die Achsensymmetrie. Und das können wir uns hier zunutze machen. Übrigens der Satz, ich weiß nicht, ob es klar ist, mit dem wie ich das geschrieben habe. Dieser Satz bedeutet, auch wenn beides also nicht erfüllt ist, d. h., wenn also der Funktionsterm gerade und ungerade Exponenten enthält, dann ist die Funktion weder achsen- noch punktsymmetrisch. Ich müsste das eigentlich korrekterweise so schreiben, fällt mir grade so auf. Das gilt aber nur für ganz rationale Funktionen, für andere nicht, deshalb hatte ich das vorher weggelassen. Ist egal, du weißt, was ich meine. Wir können hier feststellen, wir haben ein x³, 3 ist ungerade, wir haben ein x², 2 ist gerade. Damit ist diese Funktion hier nicht symmetrisch und die Sache ist damit abgehandelt. Das kannst du auch so in der Klausur einfach schreiben. Der Funktionsterm hat gerade und ungerade Exponenten von daher ist die Funktion nicht symmetrisch. Ende, aus, Mickeymaus. Kommen wir zu den Nullstellen. Und dazu ist nun Folgendes zu sagen. Ich brauche eine neue Pappe. Wenn du Nullstellen untersuchst, einer Funktion, dann schreibst du den Funktionsterm hin. Hier z. B. 4x³-100x²+600x=0, das geht so. Das ist die Lage hier. Wenn du nichts anderes weißt, nichts weiter erkennen kannst, nichts ausklammern kannst usw., dann hast du hier ein klitzekleines Problem, denn es handelt sich hierbei um eine Gleichung 3. Grades und es gibt keine Möglichkeit, die einfach so mit einem geschlossenen Ausdruck, mit einem Verfahren, direkt zu lösen. Wie z.B die p-q-Formel für quadratische Gleichungen, da musst du das nur einsetzen, dann kriegt man die Lösung. Das geht bei Gleichungen 3. Grades nicht. Was machst du da, wenn du eine Gleichung 3. Grades bekommst und die keine weiteren Eigenschaften hat, du also nichts ausklammern kannst usw. Dann musst du bitte eine 0-Stelle raten, ja auch das gibt es in der Schulmathematik, wenn ich das mal so sagen darf. Manchmal muss man eine Nullstelle raten oder eine Lösung der Gleichung raten. Nullstelle natürlich, wenn wir denken, das ist hier ein Funktionsterm, dann müssen wir eine Nullstelle raten. Also, wenn du hier diese Gleichung hast, du errätst eine Lösung und teilst dann diese linke Seite hier. Ich gehe davon aus, dass links etwas steht und rechts 0 steht. Dann kannst du diese linke Seite durch x minus Nullstelle teilen, durch x minus Lösung teilen. Wenn du das machst, geht dieses Teilen glatt auf, du bekommst keinen Rest. Dieser Teilungsvorgang nennt sich Polynomdivision. Ich hoffe, du hast das schon mal gehört. Dann erhältst du einen Term, einen ganz rationalen Funktionsterm 2. Grades, wenn du durch x minus Nullstelle geteilt hast. Von diesem Ausdruck 2. Grades kannst du ganz einfach die Nullstellen bestimmen oder die Lösung bestimmen. Wenn du jetzt irgendwas mit Quadrat hast gleich Null, dann ist das eine quadratische Gleichung, du kannst die p-q-Formel anwenden, Mitternachtsformel, sonst was, was du da immer gemacht hast. Das sollte dann kein Problem mehr sein. Und so kommst du dann zu den 3 Lösungen bzw. den 3 Nullstellen. Das ist aber ein sehr umständliches Verfahren und du solltest erst mal hier bei der Gleichung gucken, ob sich da irgendwas anderes ergibt. Zweitens kannst du natürlich überlegen, gibt es irgendwelche Daten in der Aufgabenstellung dazu, dass ich schon weiß, aha, die Funktion geht da und da durch die x-Achse, ich habe schon eine Nullstelle. Es ist eher ungewöhnlich, sage ich mal, dass du in einer komplexen Anwendungsaufgabe hier wirklich raten musst, eine Nullstelle raten und dann Polynomdivision machen. Das würde mich stutzig machen, wenn ich das sehen würde. Hier ist selbstverständlich, was heißt selbstverständlich, aber du solltest das direkt sehen bitteschön. Hier ist zu sagen, dass man ja ein x ausklammern kann. Ja, und wenn du so eine Gleichung hast und ein x ausklammern kannst, dann hast du ja quasi schon eine Nullstelle. Ich mache das mal eben hier in aller Ausführlichkeit vor. Wir brauchen eine Klammer, wenn wir das x ausklammern wollen, das steht ja jetzt dann vor der Klammer, deshalb brauchen wir auch eine Klammer. Dann haben wir hier in der Klammer (4x²-100x+600)×x=0. Und jetzt wissen wir, ein Produkt, das hier ist ein Produkt, wir haben eine Klammer mal einen weiteren Faktor, mal x, das soll gleich 0 sein. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Die Klammer ist der eine Faktor, x ist der andere Faktor. x ist nur dann 0, wenn x=0 ist. D. h. wir haben schon eine Nullstelle dieser Funktion bzw. eine Lösung dieser Gleichung. Ich schreibe das einfach mal so hin hier. Nein, folgt, das ist nicht ganz richtig. Also, wir haben schon x1=0, eine Nullstelle, eine Lösung. Und könnten dann jetzt theoretisch hier die anderen Nullstellen suchen, indem  wir nämlich die Klammer hier gleich 0 setzen, dann haben wir eine quadratische Gleichung, deren Lösungen wir einfach ermitteln können. In diesem Fall ist das auch noch zu kompliziert. Man kann sich das noch wesentlich einfacher machen. Und zwar, wenn man sich mal anguckt, wie hier der ursprüngliche Funktionsterm aussieht, da haben wir nämlich 3 Faktoren, 2 Klammern und 1x. Und auch hier gilt, ein Produkt ist nur dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, d. h. entweder ist der 1. Faktor=0, der 2. oder der 3. Der 3. ist 0, wenn x=0 ist, das haben wir schon. Also eine Nullstelle der Funktion ist x1=0. Die 2. sollte man jetzt eigentlich ablesen können. Wir haben 30-2x. Was muss ich für x einsetzen, damit 30-2y=0? Ich muss 15 einsetzen, weil 2×15=30 und 30-30=0. Wenn 20-2x=0 werden soll, dann muss ich für x 10 einsetzen, denn 2×10=20 und 20-20=0. D.h. also hier haben wir, wenn die Funktion freundlicherweise so gegeben ist, der Funktionsterm so gegeben ist, können wir eigentlich die Nullstellen ablesen, ohne uns weitere Gedanken zu machen. Trotzdem wollte ich ja auch das allgemeine Verfahren zumindest beschreiben, auch wenn es hier nicht anwendbar ist. Denn meistens ist es nicht ganz so einfach Nullstellen einfach abzulesen. Ja, bis hier hin, der Rest kommt im nächsten Teil. Extremstellen, Wendestellen. Bis dahin, tschüss.    

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8 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Afg Lisa Marie:
    Du musst hier zwei mal das Distributivgesetz anwenden.
    (30-2x)·(20-2x)·x
    = (600 -60x-40x+4x²)·x
    Nun kannst du -60x-40x zu -100x zusammenfassen:
    = (600 -100x+4x²)·x
    = 600x-100x²+4x³
    Du kannst den Term nach den Potenzen umsortieren zu:
    = 4x³-100x²+600x
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Ich versteh nicht wie er beim aus multiplizieren auf die 4x*3-100x*2+600x kommt, meine Lehrerin sagt immer 'jeder tanzt mit jedem' und dann wäre der Term ja noch länger, wo liegt mein Fehler?

    Von Afg Lisa Marie, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    @lucki1995 das ist das gleiche!

    Von Lisa Moeller123, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    sagt man nicht wenn ein Graph weder Achsen noch Punkt symmetrisch ist das er keine Symmetrie aufweist ?

    Von M C Schoen, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    Ende aus Mickey Maus und mein Lehrer schrieb mir unter die Arbeit erkläre genauer. Aber immerhin habe ich die halbe Punktzahl erhalten.

    Von Joelle B., vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    warum nullstele raten, mann kann doch ausklammern hier sind 3 x werte gegeben dann hätte man x1=0...

    Von Libanon Power 96, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    mal eine frage: Im Unterricht haben wir nicht mit f(x) = -f(-x) gerechnet sondern: f(-x) = -f(x)
    Besteht irgendein unterschied??

    Von Lucki1995, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    IcH kann kein Bild sehen! Nur Ton.

    Von Nichy, vor etwa 7 Jahren
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