Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe 1

Hallo, herzlich willkommen zu einer Kurvendiskussion oder Funktionsuntersuchung, wie man auch sagt. Hier möchte ich ein ganz einfaches Beispiel vorstellen, das Einfachste, was ich gefunden habe. Nicht nur weil diese Funktion hier grotteneinfach ist, da sag ich gleich was zu, auch weil das, was unter einer vollständigen Kurvendiskussion verstanden wird, hier diese 6 Punkte, das ist das Einfachste, was ich dazu finden konnte. Kurvendiskussionen können viel mehr Punkte enthalten, als hier aufgelistet sind. Das habe ich aus einem Buch aus Nordrhein-Westfalen und darüber steht vollständige Funktionsuntersuchung oder vollständige Kurvendiskussion. Naja, was immer das aussagt, möchte ich jetzt weiter unkommentiert lassen. Also, Punkt Nr. 1, hier sind die Ableitungen, die man zu machen hat. Die ersten 3 Ableitungen tun es in der Regel oder fast immer. Dann kommt die Symmetrie. Ich weiß nicht, ob du Symmetrie mit einem m schreiben musst, ich bleib dabei, für mich hat Symmetrie 2 m. Hier ist gefragt, nach der Punktsymmetrie bzw. der Achsensymmetrie, und zwar der Punktsymmetrie zum Ursprung und der Achsensymmetrie zur y-Achse. Es gibt andere Parallelen zur y-Achse, zu denen eine Funktion achsensymmetrisch sein kann. Es gibt auch andere Punkte, als den Nullpunkt, zu dem eine Funktion punktsymmetrisch sein kann oder zu denen eine Funktion punktsymmetrisch sein kann. Hier ist aber nur nach dieser einen Achse, also nach der y-Achse und nach dem einen Punkt, dem Nullpunkt, dem Ursprung des Koordinatensystems, gefragt. Nullstellen, das bezieht sich auf die Funktion selber. Grafisch gesehen, das ist das, wo der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Dann haben wir Punkt Nr. 4, Extremstellen. Dazu ist Folgendes zu sagen: Wenn nach einer Stelle gefragt ist, in der Analysis, dann ist nach einer Zahl der x-Achse gefragt. Wenn nach einem Punkt gefragt ist, im zweidimensionalen Koordinatensystem hier in der Analysis, dann ist nach 2 Koordinaten gefragt, nämlich einer x-Koordinate und einer y-Koordinate. Punkte haben 2 Koordinaten. Wenn man diese beiden Koordinaten angibt, ist der Punkt vollständig beschrieben. Wenn nach einer Stelle gefragt ist, dann ist immer eine Zahl der x-Achse gemeint. Wenn hier also nach Extremstellen gefragt ist, d.h. Maximum, Minimum oder Hochpunkt, Tiefpunkt sagt man auch, dann ist dem Wortlaut nach, nur nach der x-Koordinate der Extrempunkte gefragt. In dem Buch, aus dem ich das hab, wird hier nicht nur die Stelle berechnet, sondern auch der Punkt berechnet, das steht da aber nicht. Solltest du eine Klausur bekommen, in der nach den extremen Stellen nur gefragt ist, müsstest du entweder sicher sein, dass wirklich nur die Stelle gemeint ist und nicht der Punkt, um die y-Koordinate nicht auszurechnen oder du rechnest einfach die y-Koordinate mit aus, ist nicht viel Aufwand, dann hast du den extremen Punkt, den Hochpunkt oder Tiefpunkt oder die extremen Punkte und dann kann dir eigentlich nichts passieren. Wendestellen, das Gleiche. In dem Buch sind auch die Wendepunkte berechnet worden und nicht nur die Stellen. Also um auf der sicheren Seite zu sein, besser noch den Punkt, also die y-Koordinate zusätzlich ausrechnen und am Ende folgt noch der Graph. Den kann man von Hand zeichnen, man kann eine Skizze machen, empfiehlt sich sowieso immer. Oder man kann es auch in ein vernünftiges Computerprogramm eingeben, wie z.B. Geogebra, das zudem auch noch nichts kostet und frei verfügbar ist. Oder wenn du Pech hast, musst du einen von diesen Taschenrechnern nutzen, wo so ein ganz klitzekleiner Bildschirm drauf ist und musst dann von da aus die Funktionen abzeichnen oder so was. Wenn das so ist, mein Beileid, ich würde vorschlagen, du machst trotzdem eine Skizze, um klar zu sehen. Dann möchte ich hier mit Punkt 1 anfangen, also mit den Ableitungen und wir haben hier eine Funktion gegeben, die so aussieht und da ist klar, wir wollen jetzt hier nicht die Produktregel anwenden, wir müssten das dann mit 3 Faktoren machen, das wird ein endloser Ausdruck. Man kann hier die Klammer auflösen, indem man einfach ausmultipliziert. Das erklär ich jetzt nicht weiter, wie das geht, das hast du in der 7. Klasse gemacht oder so, das weißt du, jetzt muss ich nicht noch einmal erklären. Heraus kommt auf jeden Fall, ja ich hab das hier vorbereitet auf meinem Spickzettel, damit ich mich nicht vertue, schaue ich da auch hin. Wir haben dann also 4x3-100x2+600x. Das ist eine ganz rationale Funktion, und bevor ich noch zu den Ableitungen komme, wäre es ganz schlau, hier sich eben zu überlegen, wie kann denn eine so ganz rationale Funktion 3. Grades aussehen. Wir haben ein Koordinatensystem hier, zumindest eine Andeutung davon. Entweder, die Funktion verläuft so oder sie verläuft so, so ungefähr zumindest. Wir können uns hier überlegen, welche Situation wir vorliegen haben, dazu müssen wir nur den ersten Summanden, d.h. den ersten Summanden mit dem höchsten Exponent angucken. Wenn die Vorzahl positiv ist, haben wir diese Situation. Also, wenn die Vorzahl vor dem höchsten Exponenten, der jetzt eine 3 ist, wir gehen nur von Funktionen 3. Grades aus hier, das sind ja 2 Funktionen 3. Grades. Wenn also die Vorzahl hier positiv ist, sieht die Funktion ungefähr so aus, wenn die Vorzahl negativ ist, sieht sie ungefähr so aus. 4 ist eine positive Zahl, d.h. das hier können wir streichen. Die Funktion wird ungefähr so aussehen, damit wissen wir auch, wir werden ja jetzt die Symmetrie betrachten, wir können höchstens eine Punktsymmetrie haben, das wissen wir jetzt schon. Eine Achsensymmetrie bei einer Funktion 3. Grades ist nicht möglich. Nullstellen, wir werden höchstens 3 haben, wenn wir das Ganze nach oben verschieben, dann hätten wir nur 1 Nullstelle. Wir werden mindestens 1 Nullstelle haben und höchstens 3, hier sind es 3, 1-2-3. Das wissen wir auch schon vorher. Wir wissen außerdem, Extremstellen wird es 2 geben und das Maximum, das lokale Maximum wird sich links des lokalen Minimums befinden. Wendestellen, nur 1. Und der Graph, ja, ist klar, der wird ungefähr so aussehen. Das ist ganz schlau, sich das am Anfang zu überlegen, damit man nicht Fehler macht, die man hinterher nicht mehr korrigieren kann und damit man auch gleich mit einem gewissen Überblick hier vorgehen kann. Die Ableitungen. Sollte kein Problem sein, hier ist nichts Besonderes an dieser Funktion. Du kannst stur vorgehen nach den Regeln, die du kennst. Wir finden hier eine Summe vor. Dieser Funktionsterm ist eine Summe und deshalb werden wir die Summenregel anwenden. D.h. wir werden Summandenweise ableiten. Wir haben hier einen Faktor, einen konstanten Faktor, der mit einem x-Term multipliziert wird, wenn wir x3 ableiten wollen, brauchen wir die Potenzregel und dann erhalten wir 3x2. Da die 4 nach der Faktorregel einfach stehen bleibt, müssen wir nur rechnen 4×3=12. 12×x2 ist hier die Ableitung des ersten Summanden. Der zweite Summand -100 ist ein Faktor vor dem Term mit x, wir wenden die Faktorregel an. Auf x2 wenden wir die Potenzregel an. X2 abgeleitet ist 2x1 oder einfach 2x, mit -100 multipliziert, bedeutet das -200x und dann haben wir noch die 600x. Wir können x ableiten, x1 ist aus x1 abgeleitet, z.B. nach der Potenzregel, ist dann 1×x0, x0=1, 1×1=1, 600×1=600, also bleibt hier die 600 stehen. Nun mal eben der Vollständigkeit halber, man hört das schon einmal von Schülern, dass sie sagen, bei der Ableitung fällt immer der letzte Summand weg oder das letzte Ding da hinten am Ende. Das ist nicht der Fall, das ist falsch, ja. Wie du hier siehst, das fällt nicht weg, es ist noch da, bitte. Ja wir haben vorher 3 Summanden und hinterher auch. Die zweite Ableitung funktioniert ebenso. Einfach stur rechnen. Und hier bitte auch genau rechnen, wenn du dich bei den Ableitungen vertust, z.B. hier bei der ersten Ableitung, rechnest du die Extrema falsch und die Wendestellen falsch und das wird schwer sein, das wieder zu korrigieren. Also bitte hier genau rechnen und nicht einfach denken, das ist so einfach, mach ich eben, schreib ich eben hin und die Flüchtigkeitsfehler schleichen sich ein. Wir fangen wieder hier an, mit dem ersten Summanden, x2 abgeleitet ist 2x1 oder einfach 2x, die 2 müssen wir noch mit der 12 multiplizieren, 24x ist die Ableitung des ersten Summanden. -200×x ist abgeleitet einfach -200 und 600 abgeleitet ist 0. 600, also die Funktion mit der Funktionsgleichung y=600, ist eine Parallele zur x-Achse, hat keine Steigung bzw. die Steigung ist überall 0. Sie ist da, aber sie ist 0 und deshalb kann man hier noch +0 hinschreiben, das ändert das Ergebnis aber nicht und deshalb schreibt man das nicht hin. Diese Ausdrücke, die oft benutzt werden, das fällt dann weg oder so was, mag ich persönlich überhaupt nicht. In der Mathematik fällt nicht einfach was weg. Es kann sein, dass etwas gleich 0 ist, ist aber ein Unterschied, als wenn es einfach wegfällt. Also ich sag mal so. Philosophisch ist das ein himmelweiter Unterschied. Rein praktisch ist der Effekt, dass man beides hinterher nicht mehr sieht, das ist schon richtig, insofern, naja. Zur dritten Ableitung. Wir können 24x ableiten, das ist einfach 24. -200 abgeleitet ist 0, +0 schreib ich nicht mehr hin. 24 ist also die dritte Ableitung. Ja, da fragt man sich, wo ist das x. Wir können das auch hinschreiben. Wenn dich das stört, dass das x nicht da ist, dann kann ich auch x0 hinschreiben. Denn, auf dieses x0 bin ich gekommen, indem ich x abgeleitet habe. x ist ja x1, x1 abgeleitet ist 1×x1-1 nach Potenzregel. 1-1=0, 1×x0=1×1, weil x0 1 ist und deshalb könnte man hier auch hinschreiben 24×1 oder einfach nur 24. Auch wenn hier nur die 24 steht, ist das x trotzdem da und du kannst natürlich Zahlen für x einsetzen und erhältst als Ergebnis immer 24. Nur der Vollständigkeit halber, also das ist immer noch eine Funktion, das sollte kein Problem sein. So, im nächsten Teil geht es dann um die Symmetrie, bis dahin, viel Spaß, tschüss.

Informationen zum Video
8 Kommentare
  1. Flyer wabnik

    30 * 20 * x = +600x Hilft das?

    Von Martin Wabnik, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Hallo, wie kommt man bei 4x^3 - 100x^2 + 600x auf das ''+''?? bin gerade am verzweifeln, weil mir nicht klar wird woher dieses ''+'' kommt....

    Von Gundorf2, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Bitte langsamer sprechen!?! :)Ansonsten, wie immer, tolles Video !

    Von Mo275behappy, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    richtig tolles Video :) schön ausführlich erklärt ( dies ist kein lamentieren -das Video dient ja zur Nachhilfe, für Leute die Schwierigkeiten haben)

    Von Dr. Krämer, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Bitte nicht soviel lamentieren. Lieber mehr erklären . Sauberkeit, Struktur und Stil finde ich leider schlecht.

    Von Black Brush, vor mehr als 4 Jahren
  1. Flyer wabnik

    Eben :)

    Von Martin Wabnik, vor fast 5 Jahren
  2. Default

    .... trotzdem lustig... mal was zum Entspannen für zwischendurch ;-)

    Von Bummeltina, vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Die Frage die man zum Schluss beantworten soll, find ich nicht lehrreich, denn man kann sie ganz einfach ausschliesen, jedem dürfte klar sein dass schminken und bier nichts mit mathe zu tun haben, ich würde mich über schwirigere fragen freuen.

    lg Ann

    Von Papperann, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare
57a5b1cdaa638fd8419fffcde084ddac 1 Arbeitsblätter zum Video Anzeigen Herunterladen
Alle Videos & Übungen im Thema Ganzrationale Funktionen – Kurvendiskussion »