Kugeln - Aufgabe - Tangente finden

Okay los geht es. Es geht um eine Kugel und um eine Gerade. Die ist auch gegeben. Und diese Gerade wissen wir, ist eine Sekante. Und diese beiden hier S1 und S2 sind die beiden Schnittpunkte. Genau. Und die Frage ist jetzt: Wie kann man eine Gerade finden, die parallel ist zu dieser roten Geraden und die Tangente an die Kugel ist? "Ja", wie kann man das machen? "Ich würde sagen, wir haben ja hier den Mittelpunkt gegeben". Das ist der Mittelpunkt, genau. "Und, ja, ich würde jetzt eine Gerade durch den Mittelpunkt und durch die Sekante machen, so." Ja. "Aufstellen" und wenn man die hat, die Gerade? "Die würde ich dann mit der Kugel schneiden". Da kann man den Schnittpunkt. Genau. "Hier einsetzten und dann bekommt man den Schnittpunkt". Warte, ich bin gerade nicht mitgekommen. Du hast dann die Gerade. Du rechnest die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kugel aus. Das werden zwei Schnittpunkte sein, brauchen wir nicht drüber reden, ist klar. "Ja". Und dann, was machst du mit den Schnittpunkten? "Einer von den beiden Schnittpunkten soll der neue Stützvektor der gesuchten Geraden sein, der Tangente". Genau. Ja. "Und da wir ja wissen, dass die Tangente parallel zu dieser Sekante sein muss, nehmen wir diesen Richtungsvektor". Genau und dann einfach an den Mittelpunkt dransetzen. Dann hat man eine Gerade, die eine Tangente ist, und parallel zur Ursprungsgeraden. Hätte ich nicht schöner sagen können. Müssen wir jetzt nur noch eben ein bisschen konkreter machen. Fangen wir doch mal von vorne an. Kugel haben wir, Gerade haben wir, Schnittpunkt haben wir. Jetzt sagst du, du willst eine Gerade haben. Wie genau? Wie macht man das? Einfach nur jetzt das Verfahren genauer sagen. Also wir müssen nicht alles ausrechnen. Es ist eine ewig lange Rechnung, wenn man das macht, müssen wir jetzt nicht vormachen denke ich, das Verfahren ist wichtiger. "Die Gerade finde ich heraus, indem ich den Mittelpunkt der Kugel nehme, als Stützvektor". Den Mittelpunkt haben wir schon. "Ja, genau. Und dann muss ich ja noch den Richtungsvektor finden. Und das mache ich, indem ich ...Es gibt zwei unterschiedliche Möglichkeiten das zu berechnen. Entweder ich berechne den Lotfußpunkt, hier diesen Punkt, indem ich ...". Ja einfach ganz normal das Verfahren, was man kennt, um von einem Punkt auf eine Gerade den Lotfußpunkt auszurechnen. "Ja". Da gibt es mehrere Möglichkeiten, brauchen wir jetzt nicht alles zu diskutieren. Da gibt es so ein Standardverfahren, sollte man halt kennen, wendet man an. Gut. "Oder man nimmt die Hälfte von diesem Abstand hier zwischen diesen beiden". Genau, die Hälfte der Strecke. Wie macht man das? Das möchte ich eben aufschreiben, die Hälfte der Strecke. "Ja, die Strecke S1->S2, kann man ja ausrechnen indem man S2 - S1 rechnet". Ja, ich schreibe gleich die komplette Formel hin, da gibt es nämlich immer eine kleine Schwierigkeit. Das ist der Vektor der vom Koordinatenursprung zu S1 führt. Den braucht man, und man braucht die Hälfte der Strecke von S1 zu S2. Beziehungsweise man nimmt diesen Vektor und teilt diesen Vektor durch zwei oder multipliziert ihn mit 1/2, kann man machen. Und dann hat man den Mittelpunkt dieser Strecke. Häufig Leute das hier, und lassen das weg. "Ja". Aber man muss erst vom Koordinatenursprung zum Beispiel zu diesem Punkt, zu S1, und dann setzt man daran die Hälfte dieser Strecke noch. Zum Vektor von S1 zu S2 kommt man, indem man den Vektor vom Koordinatenursprung zu S2 - Vektor von Koordinatenursprung zu S1 ausrechnet, oder so ähnlich, abzieht. Also das minus das. Dann kommt man von S1 zu S2. Genau. Man kann hier, das ist so schön, komm mal ein bisschen her, sonst sieht man es nicht so genau. Dann, man kann auch einfach sagen: Ich habe den Mittelpunkt der Kugel und ich habe den Mittelpunkt der Strecke. Das heißt, das sind zwei Punkte, und zwei Punkte machen eine Gerade. Und dann geht bei dir im Kopf ja die Schublade auf: Aha Standardverfahren, Ding Dong, zwei Punkte, ich kann eine Gerade daraus machen. Die Differenz der beiden Punkte ist der Richtungsvektor etc. Genau. Und dann haben wir diese Gerade, richtig. Und dann? "Dann setzte ich die hier ein". Wird die da eingesetzt, um nämlich die Schnittpunkte auszurechnen, haben wir schon vorgemacht, wie das geht. Wenn man eine Gerade hat und eine Kugel hat, wie man dann die Schnittpunkte von Gerade und Kugel ausrechnet. Kann man dann machen, okay. Dann hat man quasi den Punkt und den Punkt? "Ja". Und was macht man mit den Punkten? "Dann suchen wir uns einen aus, und nehmen den als Stützvektor ..." Für die neue Gerade, die ja dann Tangente sein soll. "Genau". Ich darf mal, ja? "Und da sie ja eine Tangente sein soll, müssen wir hier noch mal ..." Den Richtungsvektor nehmen. Genau. Und dann sieht das so aus. Der Richtungsvektor wird hier drangesetzt an diesen Punkt und dann hat man die Tangente. Und das ist das Verfahren. "Okay". Und, wie gesagt, viel zu rechnen braucht man jetzt nicht vormachen.