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Stochastische Unabhängigkeit – Einführung

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Team Digital
Stochastische Unabhängigkeit – Einführung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Stochastische Unabhängigkeit – Einführung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zwei Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit zu überprüfen.

Zunächst lernst du, wie du stochastische Unabhängigkeit mit bedingter Wahrscheinlichkeit nachweisen kannst. Anschließend lernst du eine weitere Formel für stochastische Unabhängigkeit. kennen.

Stochastische Unabhängigkeit

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit.

Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur bedingten Wahrscheinlichkeit haben.

Transkript Stochastische Unabhängigkeit – Einführung

Was darf auf keinen Fall fehlen, wenn es um das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung geht? Na klar, unsere guten alten Bekannten, die Münzen, Würfel und Urnen! Auf die können und WOLLEN wir natürlich nicht verzichten, wenn es darum geht, "stochastische Unabhängigkeit" zu verstehen. Die Grundidee von stochastischer Unabhängigkeit ist nicht schwer nachzuvollziehen: Zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses NICHT beeinflusst. Ganz einfaches Beispiel: Der zweifache Münzwurf! Ob wir beim ersten Wurf Kopf oder Zahl erhalten haben, hat keinen Einfluss darauf, wie wahrscheinlich es ist, beim nächsten Mal, Kopf zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten mal Kopf zu werfen, bleibt immer ein Halb. Ganz egal, was das Ergebnis des vorherigen Wurfes war. Die Ereignisse "A – Kopf beim ersten Wurf" und "B – Kopf beim zweiten Wurf", sind also STOCHASTISCH UNABHÄNGIG. Wir können die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit auch in einer allgemeinen Formel wiedergeben. Ist schließlich Mathe! Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn "P von B unter der Bedingung A" gleich "P von B" gilt. In anderen Worten: Ist die Wahrscheinlichkeit von "B unter der Bedingung A" genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von "B OHNE weitere Bedingung", sprechen wir von stochastischer Unabhängigkeit der beiden Ereignisse. In diesem Fall ist dann übrigens auch die Wahrscheinlichkeit von "A unter der Bedingung B" gleich der Wahrscheinlichkeit von A. DAS schauen wir uns jetzt auch noch mal an einem Beispiel an. Schön klassisch, mit Urne! In dieser Urne haben wir drei grüne und zwei rote Kugeln. Wir ziehen zweimal hintereinander zufällig eine Kugel. Dieses Zufallsexperiment können wir entweder OHNE oder MIT Zurücklegen durchführen. Hier sehen wir die entsprechenden Baumdiagramme! Wir betrachten Ereignis A – "grün beim ersten Zug" und Ereignis B – "grün beim zweiten Zug". In welchem Kontext – mit oder ohne Zurücklegen – sind diese Ereignisse wohl stochastisch UNABHÄNGIG voneinander? Genau, bei der Variante "mit Zurücklegen"! Denn hier liegt die Wahrscheinlichkeit für "grün im zweiten Zug" jeweils bei drei Fünfteln, und zwar egal, ob zuerst grün oder rot gezogen wurde. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade berechnen und dann die Wahrscheinlichkeiten der Pfade addieren, die zu dem Ereignis B führen, sehen wir, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses "grün beim zweiten Zug" genau gleich drei Fünftel ist. Und bei drei Fünfteln liegt ja auch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A, was dann übrigens auch für die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung "nicht-A" gilt. Es macht also für die Wahrscheinlichkeit von B keinen Unterschied, ob vorher A eingetreten ist oder nicht. Die Voraussetzung für stochastische Unabhängigkeit ist somit erfüllt. Anders sieht das bei dem gleichen Zufallsexperiment OHNE Zurücklegen aus. Wenn wir auch hier die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen, können wir zwar schnell bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit von B hier ebenfalls drei Fünftel beträgt, die bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weichen aber von diesem Wert ab. Wir BEEINFLUSSEN die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Zuges dadurch, dass wir eine Kugel ziehen und NICHT wieder zurücklegen. Wenn das der Fall ist, kann keine stochastische Unabhängigkeit vorliegen. Stochastische Unabhängigkeit können wir bei Baumdiagrammen also daran erkennen, dass die beiden Teilbäume der zweiten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten aufweisen. In diesem Fall beeinflusst das Ergebnis der oberen Äste die Wahrscheinlichkeiten der unteren Äste NICHT. Sind die beiden Teilbäume der zweiten Stufe hingegen unterschiedlich, BEEINFLUSST das Ergebnis der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Grün im zweiten Zug" ist ABHÄNGIG vom Ereignis "Grün im ersten Zug". Alles klar, wir gehen nochmal zurück zu der formalen Definition von stochastischer Unabhängigkeit. Zusätzlich schreiben wir uns nochmal die Gleichung auf, die wir für die "bedingte Wahrscheinlichkeit" bereits kennen. Wir können dann den Bruch auf der rechten Gleichungsseite in unsere Formel der stochastischen Unabhängigkeit für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen. Wenn wir jetzt noch mit "P von A" multiplizieren, erhalten wir eine weitere Variante der Formel, die für stochastische Unabhängigkeit erfüllt sein muss. Die Wahrscheinlichkeit von "A und B" muss gleich der Wahrscheinlichkeit von A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von B sein. Ist das nicht der Fall, sind A und B stochastisch ABHÄNGIG. Aber wie können wir diese Formeln denn jetzt ganz konkret anwenden? Wir klären das mit einem WÜRFELbeispiel! Wir gehen dabei natürlich von einem ungezinkten LAPLACE-Würfel aus – sprich die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl gewürfelt wird, ist für alle Augenzahlen gleich. Nun können wir zum Beispiel das Ereignis "fünf oder sechs würfeln" betrachten. Wir nennen es A. Ereignis B soll hingegen alle UNGERADEN Augenzahlen abdecken. Wichtiger Hinweis: Jetzt wird nur EINMAL gewürfelt! Die Ereignisse A und B überschneiden sich, denn wenn eine Fünf gewürfelt wird, treten beide gleichzeitig ein. Die Frage ist nun: Sind sie stochastisch unabhängig oder nicht? Um das herauszufinden, überprüfen wir, ob die Formel erfüllt ist, die wir gerade aufgestellt haben. Zuerst können wir ja mal die Wahrscheinlichkeiten von A und B bestimmen: Das sind einmal zwei Sechstel, also ein Drittel, und einmal DREI Sechstel, also ein Halb. Die Wahrscheinlichkeit für A UND B, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf fällt, sprich ein Sechstel. Jetzt müssen wir nur noch "P von A" mit "P von B" multiplizieren und sehen: Das ergibt ebenfalls ein Sechstel! Und schon haben wir herausgefunden, was wir wissen wollten. Weil "P von A" mal "P von B" gleich "P von A UND B" ist, ist unsere Bedingung erfüllt und die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Wie würde es denn aussehen, wenn wir die Ereignisse C: "Die Augenzahl ist kleiner als Vier." und D: "Die Augenzahl ist gerade." auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen? Versuch es gerne erstmal selber! Die Schnittmenge von C und D ist durch das Ergebnis zwei gegeben. Wir brauchen wieder die Wahrscheinlichkeiten für C, D sowie "C und D". Die sind gleich ein Halb, ein Halb und ein Sechstel. Ein Halb mal ein Halb ist allerdings gleich ein Viertel und somit UNGLEICH ein Sechstel. Somit haben wir in diesem Fall stochastische ABHÄNGIGKEIT nachgewiesen. Das soll für den Anfang reichen! Wir fassen nochmal zusammen, was du dir zu "stochastischer Unabhängigkeit" merken musst. Ob zwei Ereignisse A und B stochastisch abhängig oder unabhängig voneinander sind, können wir auf zwei verschiedene Arten prüfen. Wir können entweder mit DIESER oder mit DIESER Formel arbeiten. Da sie äquivalent, sprich gleichwertig sind, reicht es, wenn wir gezeigt haben, dass eine der beiden Formeln erfüllt ist, um die stochastische Unabhängigkeit von A und B nachzuweisen. Kommen wir hingegen zu dem Ergebnis, dass eine der beiden Gleichungen NICHT erfüllt ist, müssen A und B voneinander abhängig sein. Grundlegend können wir durch das Überprüfen von stochastischer Unabhängigkeit erkennen, ob ein Ereignis Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses hat oder eben nicht. Und das hilft uns dann nicht nur im Matheunterricht, sondern kann zum Beispiel auch beim nächsten Spieleabend den Unterschied machen!

Stochastische Unabhängigkeit – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stochastische Unabhängigkeit – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe stochastische Unabhängigkeit am Beispiel „Ziehen aus einer Urne“.

    Tipps

    Erste Kugel:

    • $P(\text{grün})=\dfrac{3}{5}$
    • $P(\text{rot})=\dfrac{2}{5}$

    Ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $B$ ohne weitere Bedingung, oder:
    Ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $A$ ohne weitere Bedingung, ...
    ... so sprechen wir von stochastischer Unabhängigkeit der beiden Ereignisse.

    Lösung

    Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Allgemein gilt für stochastische Unabhängigkeit die Bedingung:
    $P_A(B) = P(B) \qquad$ beziehungsweise $\qquad P_B(A)=P(A)$
    In Worten:
    Ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $B$ ohne weitere Bedingung, oder:
    Ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit von $A$ ohne weitere Bedingung, ...
    ... so sprechen wir von stochastischer Unabhängigkeit der beiden Ereignisse.

    Beim Urnenexperiment unterscheiden wir zwischen den Varianten

    • Ziehen mit Zurücklegen
    • Ziehen ohne Zurücklegen
    Dabei unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug. Während beim Ziehen mit Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug die gleichen sind wie beim ersten Zug, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen im zweiten Zug.

    Betrachten wir als Beispiel eine Urne, in der drei grüne und zwei rote Kugeln sind. Aus ihr wird zweimal hintereinander gezogen.

    Die Aussage „Die Wahrscheinlichkeiten für rot bzw. grün sind im ersten Zug identisch.“ ist falsch, denn es gilt:

    • $P(\text{grün})=\dfrac{3}{5}$
    • $P(\text{rot})=\dfrac{2}{5}$

    Ziehen mit Zurücklegen:
    Die Wahrscheinlichkeit für grün beim zweiten Zug beträgt genau $\frac{3}{5}$. Dies ist gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit für grün beim zweiten Zug (unter der Bedingung rot beim ersten Zug bzw. grün beim ersten Zug). Die beiden Ereignisse sind also stochastisch unabhängig.

    Die Aussage „Beim Ziehen mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten vom ersten zum zweiten Zug nicht.“ ist also richtig.

    Die Aussage „Beim Ziehen mit Zurücklegen sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten in den Teilbäumen der zweiten Stufe gleich.“ ist ebenso richtig.

    Ziehen ohne Zurücklegen:
    Die Wahrscheinlichkeit für grün beim zweiten Zug beträgt auch hier genau $\frac{3}{5}$. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind jedoch anders, nämlich $\frac{3}{4}$ für grün beim zweiten Zug, wenn rot beim ersten Zug und $\frac{2}{4}$ für grün beim zweiten Zug, wenn grün beim ersten Zug. Die beiden Ereignisse sind also stochastisch abhängig.

    Die Aussage „Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist das Ziehen einer bestimmten Kugel im ersten und zweiten Zug stochastisch unabhängig.“ ist also falsch.

    Stochastische Unabhängigkeit können wir bei Baumdiagrammen allgemein daran erkennen, dass die beiden Teilbäume der zweiten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten aufweisen.

  • Belege die stochastische Unabhängigkeit der beiden Ereignisse $A$ und $B$.

    Tipps

    Du kannst die Wahrscheinlichkeiten ermitteln, indem du die Anzahl der für ein Ereignis günstigen durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst.

    Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss die Wahrscheinlichkeit für $A$ und $B$ gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ mal der Wahrscheinlichkeit von $B$ sein.

    Lösung

    Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss folgende Formel erfüllt sein:

    $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

    Wir untersuchen das gegebene Beispiel:
    Ein Spielwürfel wird geworfen: $\quad {\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}}$

    $A= \{5, 6\} $ $\qquad$ $B= \{1, 3, 5\} $

    Wir bilden zunächst die Schnittmenge $A \cap B$. In ihr sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ sind. In unserem Fall gilt dies nur für die Zahl $5$. Also gilt:
    $A \cap B = \{\color{#99CC00}{5}\color{black}{\}} $
    Da in der Menge $A \cap B$ nur eines von sechs möglichen Ergebnissen enthalten ist, gilt:
    $P(A \cap B) = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{6}}$

    Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$ und $B$:
    In $A$ sind zwei der sechs möglichen Ergebnisse enthalten, also gilt:
    $P(A)= \dfrac{2}{6} = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{3}}$
    In $B$ sind drei der sechs möglichen Ergebnisse enthalten, also gilt:
    $P(B)= \dfrac{3}{6} = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{2}}$
    Somit gilt:
    $P(A) \cdot P(B) = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{2}} \color{black}{~\cdot~} \color{#99CC00}{\dfrac{1}{3}} \color{black}{~=~} \color{#99CC00}{\dfrac{1}{6}}$

    Schlussfolgerung:
    Da $\color{#99CC00}{P(A) \cdot P(B)}$ und $\color{#99CC00}{P(A \cap B)}$ das gleiche Ergebnis haben, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig. Die Formel $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ist erfüllt.

  • Entscheide, bei welchen Baumdiagrammen stochastische Unabhängigkeit vorliegt.

    Tipps

    Bei diesem Baumdiagramm liegt keine stochastische Unabhängigkeit vor!

    Stochastische Unabhängigkeit können wir bei Baumdiagrammen daran erkennen, dass die beiden Teilbäume der zweiten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten aufweisen.

    Lösung

    Allgemein gilt für stochastische Unabhängigkeit die Bedingung:
    $P_A(B) = P(B) = P_{\bar{A}}(B)$

    Stochastische Unabhängigkeit können wir bei Baumdiagrammen daran erkennen, dass die beiden Teilbäume der zweiten Stufe die gleichen Wahrscheinlichkeiten aufweisen.

    Wir untersuchen daraufhin die gegebenen Baumdiagramme:

    Baumdiagramm 1:
    Beispiel: Ziehen aus einer Urne mit $3$ roten und $7$ grünen Kugeln mit Zurücklegen.
    Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Teilbäume der zweiten Stufe sind gleich.
    $\rightarrow \quad$ stochastisch unabhängig

    Baumdiagramm 2:
    Beispiel: Zweimaliges Werfen einer Münze
    Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Teilbäume der zweiten Stufe sind gleich.
    $\rightarrow \quad$ stochastisch unabhängig

    Baumdiagramm 3:
    Beispiel: Ziehen aus einer Urne mit $4$ roten und $6$ blauen Kugeln ohne Zurücklegen.
    Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Teilbäume der zweiten Stufe sind unterschiedlich.
    $\rightarrow \quad$ stochastisch abhängig

    Baumdiagramm 4:
    Beispiel: Zweimaliges Werfen eines Würfels.
    Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Teilbäume der zweiten Stufe sind gleich.
    $\rightarrow \quad$ stochastisch unabhängig

  • Untersuche, welche Ereignisse stochastisch unabhängig und welche stochastisch abhängig sind.

    Tipps

    Notiere zunächst, welche Zahlen in den jeweiligen Mengen enthalten sind und bestimme die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

    Beispiel:

    $A$: Die erzielte Zahl ist gerade.

    $A= \{2,4,6,8,10\} $

    $P(A)= \dfrac{1}{2}$

    stochastisch unabhängig: $\quad {P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$

    stochastisch abhängig: $\quad {P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)}$

    Lösung

    Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss folgende Formel erfüllt sein:

    $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

    Die Ereignisse $A$ und $B$ sind hingegen stochastisch abhängig, wenn gilt:

    $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$

    $\,$

    Um die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse zu untersuchen, geben wir zunächst die jeweiligen Ergebnismengen an und bestimmen die Wahrscheinlichkeiten:

    $\bullet ~~ A$: Die erzielte Zahl ist gerade. $\quad A= \{2,4,6,8,10\} $ $\quad P(A)= \dfrac{1}{2}$

    $\bullet ~~ B$: Die erzielte Zahl ist größer $5$. $\quad B= \{6,7,8,9,10\} $ $\quad P(B)= \dfrac{1}{2}$

    $\bullet ~~ C$: Die erzielte Zahl ist durch $3$ teilbar. $\quad C= \{3,6,9\} $ $\quad P(C)= \dfrac{3}{10}$

    $\bullet ~~ D$: Die erzielte Zahl ist kleiner oder gleich $4$. $\quad D= \{1,2,3,4\} $ $\quad P(D)= \dfrac{2}{5}$

    $\bullet ~~ E$: Die erzielte Zahl ist zweistellig. $\quad E= \{10\} $ $\quad P(E)= \dfrac{1}{10}$

    $\bullet ~~ F$: Die erzielte Zahl ist größer $6$. $\quad F= \{7,8,9,10\} $ $\quad P(A)= \dfrac{2}{5}$

    Wir bilden nun die jeweiligen Schnittmengen und vergleichen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

    $A \cap E = \{ 10\} $ $\quad P(A \cap E)= \dfrac{1}{10}$
    $P(A) \cdot P(E) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{20} \neq P(A \cap E)$
    $\rightarrow$ stochastisch abhängig

    $B \cap C = \{ 6,9\} $ $\quad P(B \cap C)= \dfrac{2}{10}$
    $P(B) \cdot P(C) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{20} \neq P(B \cap C)$
    $\rightarrow$ stochastisch abhängig

    $A \cap D = \{ 2,4\} $ $\quad P(A \cap D)= \dfrac{1}{5}$
    $P(A) \cdot P(D) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = P(A \cap D)$
    $\rightarrow$ stochastisch unabhängig

    $C \cap D = \{ 3\} $ $\quad P(C \cap D)= \dfrac{1}{10}$
    $P(C) \cdot P(D) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{50} \neq P(C \cap D)$
    $\rightarrow$ stochastisch abhängig

    $A \cap B = \{ 6,8,10\} $ $\quad P(A \cap B)= \dfrac{3}{10}$
    $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \neq P(A \cap B)$
    $\rightarrow$ stochastisch abhängig

    $C \cap F = \{ 9\} $ $\quad P(C \cap F)= \dfrac{1}{10}$
    $P(C) \cdot P(F) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{50} \neq P(C \cap F)$
    $\rightarrow$ stochastisch abhängig

    $A \cap F = \{ 8,10\} $ $\quad P(A \cap F)= \dfrac{1}{5}$
    $P(A) \cdot P(F) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = P(A \cap F)$
    $\rightarrow$ stochastisch unabhängig

  • Gib die Ergebnismengen der Ereignisse an.

    Tipps

    Möglich sind insgesamt die Zahlen $1\,$–$\ 6$, die Ergebnismenge lautet also:
    $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

    Die Zahl $5$ selbst ist nicht kleiner als $5$.

    Lösung

    Bei der Untersuchung stochastischer Unabhängigkeit müssen wir mit Ereignissen und den zugehörigen Ergebnismengen umgehen.

    Häufig ist ein Ereignis in Worten gegeben. Um Verknüpfungen zu bilden oder Berechnungen anzustellen, ist es dann sinnvoll, die Ergebnismenge zu dem Ereignis aufzuschreiben. Darin sind alle Ergebnisse enthalten, auf die das Ereignis zutrifft.

    Wir betrachten den Würfelwurf. Möglich sind hier insgesamt die Zahlen $1\,$–$\ 6$, die Ergebnismenge lautet also:
    $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

    Wir betrachten nun die beschriebenen Ereignisse:

    Es wird eine ungerade Zahl geworfen.
    Die Zahlen $1$, $3$ und $5$ sind ungerade. Diese müssen wir markieren.
    $\color{#99CC00}{E_1 = \{1, 3, 5\}}$

    Es wird eine Zahl kleiner als $5$ geworfen.
    Da $5$ selbst nicht kleiner als $5$ ist, müssen wir nur die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$ markieren.
    $\color{#99CC00}{E_2 = \{1, 2, 3, 4\}}$

    Es wird eine gerade Zahl größer als $4$ geworfen.
    Die Zahlen $2$, $4$ und $6$ sind gerade. Davon ist nur die Zahl $6$ größer als $4$. Diese müssen wir markieren.
    $\color{#99CC00}{E_3 = \{6\}}$

  • Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss folgende Formel erfüllt sein:

    $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $

    Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und stelle sie nach der gesuchten Größe um.

    Lösung

    Damit zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, muss folgende Formel erfüllt sein:

    $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad \Leftrightarrow \quad P_A(B)=P(B)$

    Grundlage dieser Äquivalenz ist die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
    $P_A(B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

    Wir können somit die fehlenden Werte ermitteln:

    Aufgabe 1:
    $P(A)= 0{,}3$
    $P(A \cap B)= 0{,}18$
    $P(B) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}3} = 0{,}6$

    Aufgabe 2:
    $P_A(B)= 0{,}1$
    $P(A \cap B)= 0{,}08$
    $P(A) =\dfrac{P(A\cap B)}{P_A(B)} = \dfrac{0{,}08}{0{,}1} = 0{,}8$

    Aufgabe 3:
    $P(B)= 0{,}5$
    $P(A \cap B)= 0{,}5$
    $P(A) =\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}5}{0{,}5} = 1$

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