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Transkript Konvergenz und Grenzwert

Hallo. In diesem Video will ich erklären, was der Grenzwert einer Funktion ist und was Konvergenz ist. Wenn man so eine Funktion hat, dann untersucht man meist ganz viele Sachen, zum Beispiel wo sie definiert ist, wo sie Nullstellen hat, und, was auch total interessant ist, ist sich zu überlegen, was eigentlich am Rand passiert. Was passiert mit den Funktionswerten, wenn ich x riesig groß oder winzig klein werden lasse? Bei diesem Graphen könnte man zum Beispiel vermuten, dass die Funktion für wachsendes x immer größer wird und im negativen Bereich, je weiter man nach links kommt, sich immer mehr an die Gerade y=0 anschmiegt. Das kann man mathematisch exakt ausdrücken. Wir nehmen jetzt einmal die Funktion f(x)=1/x. Das sieht so aus, als würde sie hier gegen den Funktionswert 0 streben. Rechnen wir mal aus, was da wirklich passiert. Für x setze ich immer größere Zahlen ein, zum Beispiel 10, 1000, 1000000 ... und der Funktionsterm wird immer durch diese Zahl geteilt, also 1/10, 1/1000, bis ich schließlich 1 durch eine riesige Zahl teile, also eine winzige Zahl erhalte. Das heißt, man kommt immer näher an die 0 heran, aber man erreicht sie nie. Die 0 ist also hier eine Grenze. Und weil Grenze auf Lateinisch Limes heißt, so wie bei den Römern die Grenzlinien, schreibt man lim1/x für x gegen unendlich = 0. 0 ist die Grenze, 1/x ist die Funktion und die x-Werte werden immer größer. Was passiert, wenn x im Negativen immer größer wird, also immer kleiner? Nun, dann können wir genauso rechnen. Wir teilen 1 durch eine riesige negative Zahl, also kommt eine winzige negative Zahl heraus. Das heißt, die Grenze ist wieder 0, aber diesmal von der anderen Seite. Wir schreiben lim für x gegen Minus unendlich von 1/x = 0.  Man benutzt dafür verschiedene Sprechweisen. Zum Beispiel: Die Funktion 1/x konvergiert für x gegen unendlich gegen 0. Oder: Die Funktion 1/x hat den Grenzwert 0. Oder: Die Funktion 1/x ist konvergent mit dem Grenzwert 0. Die Definition sieht folgendermaßen aus: Die Funktion f(x) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn es für jedes (noch so kleine) &epsilon">">;>0 eine Zahl X0 gibt, sodass für all x>=x0 gilt: deren Funktionswert ist weniger als ε vom Grenzwert entfernt. Nehmen wir wieder unser Beispiel f(x)=1/x, dann ist also a=0, der Grenzwert, und wir nehmen ε=1/1000. Dann soll also Betrag |1/x-0| < 1/1000 sein. Wir müssen jetzt noch herausfinden, für welche x das gilt. x ist sowieso positiv, also können wir den Betrag weglassen und wir erhalten 1000 < x. Wenn wir also x0=1001 wählen, ist die Bedingung von oben erfüllt. Der Abstand der Funktionswerte von 0 ist von da an kleiner als 1/1000. Würden wir für ε=1/1.000.000 wählen, wäre x0=1.000.001. Und so könnten wir immer weiter machen. Für jedes ε würden wir ein solches x0 finden. Werden die Funktionswerte ab einem bestimmten x immer größer, heißt die Funktion "bestimmt divergent". Die Funktion f(x)=x2 ist ein gutes Beispiel dafür. Mit wachsendem x übersteigen die Funktionswerte irgendwann jede beliebig große Zahl und unterschreiten diese auch nicht mehr. Wir schreiben dafür: lim x2 für x gegen unendlich = plus unendlich. Und da für negative x das Gleiche passiert, schreiben wir lim x2 für x gegen minus unendlich = plus unendlich. Es gibt aber auch Funktionen, die weder gegen eine Zahl streben, noch immer größer oder immer kleiner werden. Die heißen dann "unbestimmt divergent". Die Sinusfunktion zum Beispiel schwingt immer zwischen den Werten 1 und -1 hin und her. Das heißt, sie wird nie riesig groß, kann sich aber nie auf einen Wert festlegen. Jetzt schauen wir uns noch einmal die Funktion f(x)=1/x an. Die ist ja bei x=0 nicht definiert. Da könnte man sich jetzt das Gleiche fragen: Was passiert denn, wenn ich mit dem x der 0 immer näher komme, wenn ich ganz nah herangehe. Was passiert dann mit den Funktionswerten? Gehen die gegen unendlich? Wir rechnen einmal nach. Für x setzen wir immer kleiner werdende Zahlen ein - 1/10, 1/100, 1/1020 ... und als Ergebnis würde herauskommen: 10, 100, 1020 ... da wir immer nur den Kehrwert nehmen und der wird dann riesig groß. Wir schreiben dafür lim x von oben gegen 0 von 1/x = +unendlich. Hier muss man also noch unterscheiden, ob man von rechts gegen 0 geht oder von links, weil dafür verschiedene Grenzwerte herauskommen. Wenn wir den lim von x von unten gegen 0 berechnen wollen, brauchen wir in unserer Rechnung eigentlich überall nur ein Minus davor machen. Also kommt -unendlich heraus. Einen solchen Grenzwert nennt man "Grenzwert von f an einer Stelle". Falls f sogar an der Stelle x0 definiert ist, kann man das x0 einfach in die Funktion einsetzen. So ist zum Beispiel der lim(x2-4) für x -> 7 = 45. Zum Schluss möchte ich noch mal die wichtigsten Grenzwerte aufschreiben. Bis auf einen haben wir davon auch alle heute kennengelernt. Ist f(x)=k(Konstante), so ist der lim k für x gegen unendlich = k. Ist f(x)=x, dann ist der lim x für x gegen +unendlich = +unendlich, und für -unendlich = -unendlich. Und für f(x)=1/x ist der lim 1/x für x gegen ±unendlich = 0, für x von oben gegen 0 = +unendlich und für x von unten gegen 0 = -unendlich. Zum Glück ist dieses Video nicht unendlich. Deswegen machen wir jetzt Schluss. Tschüss.                                                

Informationen zum Video
10 Kommentare
  1. Img 20151011 002133

    Wie bitte? Irgendwie bin ich völlig verwirrt :( Hab grad ferien wahrscheinlich deshalb...

    Von Juliane G., vor fast 2 Jahren
  2. Ich 2012 quadr 80kb

    Geil! Bei vielen Videos schlafe ich ein und spule mühselig punktuell vor. Dass du dir die Mühe gemacht hast es zu filmen und danach zu vertonen, finde ich richtig super.

    Sicher hätte mein Vorposter recht, wenn es im Unterricht wäre, aber hier im Onlinemedium fällt es mir viel leichter zu lernen, wenn ich das Tempo selbst bestimmen kann. Wem es es zu schnell geht, kann ja Pause drücken^^

    Von Werbung, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Bei diesem Hochgeschwindigkeits-Gekritzel komme ich mir vor wie in der Klappsmühle. So hat man früher unterrichtet und dabei erreicht, Mathe zu einem Angstfach zu machen. Das ist einfach eine pädagogische Rücksichtslosigkeit und hat mit dem Ziel von sofatutor, den Schülern zu helfen, nichts zu tun. Hier sollte die Qualitätskontrolle von sofatutor besser funktionieren.

    Von Libro E Musica, vor mehr als 3 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Davor,

    von Asymptoten spricht man eher im Zusammenhang mit Kurven bzw. Funktionen, nicht bei Folgen. Wenn der Grenzwert einer Funktion z.B. 3 ist, dann ist die Gerade y = 3 eine Asymptote der Funktion. Insofern kann man sagen, dass sich aus jedem Grenzwert eine Asymptote ergibt. Es gbt aber auch Asymptoten (senkrechte und schiefe), die nicht einem Grenzwert der gegebenen Funktion entsprechen. Die Funktion f(x) = 1/x hat z.B. die senkrechte Asymptote x = 0. Die 0 ist hier eine Stelle, an der die Funktion f nicht definiert ist.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  5. 60084 529934423685663 1775045518 n

    Haben die Grenze etwas mit den Asymptoten Zutun? - Mir gefällt das tempo übrigens bestens. Lg Davor

    Von Davoree, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Gutes Video :)

    Von Minol, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Hey steve, hatte mal bei dir nachhilfe und bin nun durch zufall auf ein video von dir gestossen ;D
    hat mir sehr weitergeholfen danke!
    (das mit dem langsamer, würde mir auch deutlich besser gefallen ;)

    Von Sutemati, vor mehr als 5 Jahren
  3. Default

    Hi Steve

    Was ist eigentlich eine Grenzwert wie kann man es Geometrischh darstellen

    Von Luist, vor mehr als 5 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hey Dude,

    danke für dein Feedback. Der Grat zwischen "zu schnell werden" in Lesegeschwindigkeit und "Langweilen" in Normalgeschwindigkeit ist schmal, aber ich habe vor, demnächst wieder Videos zu machen. Wenn diese inhaltlich zum Tutorstil passen (also Ende Schule oder Anfang Uni), dann werde ich auch mal den Normalgeschwindigkeitsstil probieren. Es gibt übrigens ein Video im Tutorstil über Grenzwerte (allerdings von Folgen), das findest du hier
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/konvergenz-von-zahlenfolgen

    Viel Erfolg mit den Grenzwerten. Steve.

    Von Steve Taube, vor etwa 7 Jahren
  5. Ich

    Hey Steve, Das ist ein Supervideo. Einfach erklärt und gut verständlich. Aber einen kritikpunkt hätte ich da. Ich bin mir bewusst, dass du dir was dabei gedacht hast das Video in Lesegeschwindigkeit abspielen zu lassen. Aber würde mich freuen wenn es das auch in normalgeschwindigkeit gebe. So wie es halt auch der Tutor an der Tafel macht. Man muss so halt ständig zurpckspulen um Dinge die man nicht auf anhieb verstanden hat weils zu schnell wieder weiterging zu checken.
    Gruß vom Dude ;)

    Von Der Dude, vor etwa 7 Jahren
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