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Transkript Komplexe Zahlen – Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten

Hallo, liebe Mathematikfreundinnen und Mathematikfreunde! Herzlich willkommen zum Video "Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polarkoordinaten". Erinnern wir uns zunächst, was wir über komplexe Zahlen und die Darstellung der komplexen Zahlen in Polarkoordinaten wissen sollten. Ist Z eine komplexe Zahl, so ist Z Element von C, der Menge der komplexen Zahlen. Das bedeutet, das Z darstellbar ist als: a+i×b (Gleichung 1). a und b sind Element R, Elemente der reellen Zahlen. Für i gilt, dass i2 gleich -1 ist. a bezeichnet man als Realteil von Z (ReZ), b ist der Imaginärteil von Z (ImZ). Man könnte für Z auch schreiben: Z=a×1+b×i. Siehe auch die Analogie zu den Vektoren in R2. Komplexe Zahlen kann man in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Ich werde nur den ersten Quadranten des Koordinatensystems verwenden. Prinzipiell ist die Darstellung aber in allen vier Quadranten möglich. Auf der uns gebräuchlich verwendeten x-Achse wird der Realteil von Z abgetragen, auf der y-Achse der Imaginärteil von Z. Z stellt sich dar wie etwa ein Ortsvektor bei der Vektorrechnung. Der Realteil von Z ist a, der Imaginärteil b. Die Länge des Vektors ist der Betrag von Z. Der Betrag von Z errechnet sich als |Z|=\sqrt(a2+b2). Das ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Wir können nun einen Winkel φ, so wie in der Zeichnung dargestellt, festlegen. Dann erhalten wir: cosφ=a/|Z|. Umgeformt erhalten wir: a=|Z|×cosφ (Gleichung 2). Analog ergibt sich: sinφ=b/|Z|. Umgeformt erhält man: b=|Z|×sinφ (Gleichung 3). Wir setzen nun Gleichung 2 und 3 in Gleichung 1 ein und erhalten: Z=|Z|×cosφ+i|Z|×sinφ. Wir klammern nun rechts |Z| aus und erhalten das Ergebnis (rechts oben): Z=|Z|(cosφ+i×sinφ). Damit haben wir die komplexe Zahl Z in Polarkoordinaten-Schreibweise formuliert. Schreiben wir nun die beiden komplexen Zahlen Z und W in Polarkoordinaten auf. Für Z müssen wir nur die Gleichung rechts oben abschreiben: Z=|Z|(cosφ+i×sinφ) Gleichung 4. Für W schreiben wir: W=|W|×(cosψ+i×sinψ) Gleichung 5. Wir multiplizieren nun Z und W. Z×W=|Z|×|W|×(cosφ+i×sinφ)×(cosψ+i×sinψ). Wir multiplizieren nun die Klammerausdrücke mit den trigonometrischen Funktionen aus und erhalten: Z×W=|Z|×|W|×(cosφ×cosψ+i×sinψ×cosφ+i×sinφ×cosψ. Jetzt haben wir den letzten Term zu berechnen und dort werden i und i miteinander multipliziert. Nach Definition ergibt i2=-1, also erhalten wir dort: -sinφ×sinψ. Wir fassen nun die Ausdrücke in der Klammer sinnvoll zusammen, und zwar: cosφ×cosψ-sinφ×sinψ. Für den Ausdruck in der runden Klammer können wie ein Additionstheorem verwenden, und zwar: cosx×cosy-sinx×siny=cos(x+y). Nun ordnen wir die übrigen Terme, in denen i enthalten ist, an. Wir klammern zunächst i aus und schreiben: i(sinψ×cosφ+sinφ×cosψ). Hierauf können wir ein Additionstheorem verwenden. Es lautet: sinx×cosy+siny×cosx=sin(x+y). Wir erhalten somit als abschließendes Ergebnis: Z×W=|Z|×|W|×(cos(φ+ψ)+i×sin(φ×ψ)). Das Endergebnis ist es Wert, dass wir es einrahmen. Ich danke für eure Aufmerksamkeit. Alles Gute und viel Erfolg, tschüss!  

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