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Transkript Komplexe Zahlen – Graphische Darstellung einer Punktmenge

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video "Graphische Darstellung einer Punktmenge in C". Gegeben ist die Menge aller Z Element C. Für die gilt: |3Z-1+i|≤2. Um die Aufgabe lösen zu können, zerlegen wie Z in Realteil a und Imaginärteil b. Also: Z=a+i×b. a und b sind Element der reellen Zahlen. Wir setzen die Darstellung für Z in die gegebene Ungleichung ein und erhalten: |3(a+ib)-1+i|=|3a+i×3b-1+i|≤2. Wir fassen nun Real- und Imaginärteil innerhalb der Betragszeichen zusammen und erhalten (nächste Zeile): |(3a-1)+i(3b+1)|≤2. Den Realteil der komplexen Zahlen in den Betragsstrichen habe ich mit oranger Farbe gekennzeichnet. Der Imaginärteil wurde mit hellblauer Farbe markiert. Laut Definition ist der Betrag einer komplexen Zahl die Wurzel der Summen der Quadrate aus Real- und Imaginärteil dieser komplexen Zahlen. Wir erhalten somit: /sqrt((3a-1)2+(3b+1)2)≤2. Die Ausdrücke links und rechts in dieser Ungleichung sind nicht negativ. Somit können wir quadrieren und erhalten eine äquivalente Umformung. Beim Quadrieren verschwindet auf der linken Seite die Wurzel, auf der rechten Seite erhalten wir ganz einfach 4. Wir schreiben nun die Quadrate einfach als Produkte und erhalten: (3a-1)×(3a-1)+(3b+1)×(3b+1)≤4. Wir klammern nun aus jedem der einzelnen Faktoren auf der linken Seite der Gleichung 3 aus und erhalten: 3(a-⅓)×3(a-⅓)+3(b+⅓)×3(b+⅓)≤4. In der nächsten Zeile vertauschen wir die Faktoren in den einzelnen Produkten und multiplizieren jeweils die 3 miteinander: Wir erhalten: 9(a-⅓)×(a-⅓)+9(b+⅓)×(b+⅓)≤4. Wir machen aus den Produkten wieder Quadrate und erhalten in der nächsten Zeile: 9(a-⅓)2+9(b+⅓)2≤4. Wir klammern nun in der nächsten Zeile die 9 aus und erhalten: 9[(a-⅓)2+(b+⅓)2]≤4. Wir dividieren nun die Ungleichung in der unteren Zeile durch 9 und erhalten: (a-⅓)2+(b+⅓)2≤4/9. In der nächsten Zeile lassen wir die linke Seite der Ungleichung stehen und formen auf der rechten Seite die 4/9 um in (2/3)2. Schaut euch nun einmal den letzten Ausdruck an! Habt ihr eine Eingebung, worum es sich handeln könnte? Nein? Na dann gehen wir etwas weiter. Ich schreibe einmal einfach darunter: (x-⅓)2+(y+⅓)2≤(2/3)2. Immer noch nichts? Na gut, dann gehen wir weiter. Ja, ihr habt es erkannt! Sehr schön. Ihr könnt euch sicher an eine Gleichung der Form erinnern (untere Zeile): (x-xm)2+(y-ym)2≤(2/3)2. Richtig! Es handelt sich hierbei um eine Kreisgleichung. Der Radius r des Kreises beträgt hier: 2/3. xm und ym geben den Mittelpunkt des Kreises an. In unserem Fall ist die x-Koordinate ⅓, die y-Koordinate -⅓, der Mittelpunkt des Kreises somit m(⅓,-⅓). Nun zur graphischen Darstellung der Punktmenge. Dafür müssen wir etwas Platz schaffen. Die Punktmenge war folgendermaßen definiert. Die Menge aller Z Element C, für die gilt: |3Z-1+i|≤2. Wir hatten Z dargestellt durch den Realteil und den Imaginärteil. Z=a+ib, wobei a und b reelle Zahlen sind. Wir hatten folgende Ungleichung erhalten: (x-⅓)2+(y+⅓)2≤(2/3)2. x erfüllt hier die Rolle von a und y die Rolle von b. Wir wollen nun die Punktmenge zeichnen. Wir haben bereits gesagt, dass wir es hier mit einer Kreisgleichung zu tun haben. Daher zeichnen wir einen Kreis. Wir bestimmen seinen Mittelpunkt und das Koordinatensystem wird nun dazu gezeichnet. Das Zeichnen ist gar nicht so einfach. Realteil und Imaginärteil sind noch nicht an Ort und Stelle, werden aber nachher ihre Plätze tauschen und an den Ort ihrer Bestimmung gehen. Aus praktischen Gründen werde ich als Skalierungseinheit ⅓ wählen. Die Achsen werden beschriftet und der Radius wird eingetragen. Aus der Kreisgleichung kann man erkennen, dass er 2/3 beträgt. Die korrekte Achsenbeschriftung ist nun erfolgt, Real- und Imaginärteil haben ihre Plätze. Der Realteil ist dort, wo wir x erwarten, der Imaginärteil dort, wo wir es gewohnt sind, y zu treffen. Den Kreismittelpunkt erkennen wir auch aus der Kreisgleichung. Er beträgt: ⅓, -⅓. Die Punktmenge wird dargestellt durch alle Punkte des Kreises einschließlich der Kreislinie. Zuletzt möchte ich noch die x- und y-Koordinaten des Mittelpunktes farbig markieren. So, damit ist die Aufgabe gelöst. Ich bedanke mich für die eure Aufmerksamkeit, wünsche euch alles Gute und viel Erfolg! Tschüss!

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2 Kommentare
  1. 001

    Wende dich bitte an Steve. Du müsstest dann noch die Aufgaben (zumindest thematisch) vorgeben. Ein Video dürfte nicht reichen. Gruß André

    Von André Otto, vor fast 6 Jahren
  2. Default

    Wow! Ziehmlich gut erklärt!
    Kanst du evtl. ein Video mit Aufgaben zur Vorbereitung für eine Klausur erstellen?

    Von Deleted User 17991, vor fast 6 Jahren