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Transkript Komplexe Zahlen – Dreiecksungleichung

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video "Die Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen". Sind Z und W Elemente der komplexen Zahlen, dann gilt: |W+Z|≤|W|+|Z|. Die Relation wird gemeinhin als die Dreiecksungleichung im Bereich der komplexen Zahlen bezeichnet. Ich möchte für die Dreiecksungleichung den Beweis führen. Wir schreiben zunächst: 1=(W+Z)/(W+Z). Diese Relation ist offensichtlich richtig. Wir zerlegen diesen Bruch, indem wir die Zähler aufspalten und erhalten: W/(W+Z)+Z/(W+Z). Die Brüche kann man als 2 komplexe Zahlen auffassen. Jede komplexe Zahl kann man in einen Realteil und in einen Imaginärteil aufspalten. Wir können somit schreiben: ReW/(W+Z)+ImW/(W+Z)+ReZ/(W+Z)+ImZ/(W+Z). Der dargestellte Term beträgt 1. Er ist reell. Daher muss die Summe der Imaginärteile 0 sein. Wir können daher die Imaginärteile aus dem Term herausstreichen. Es bleibt somit übrig: 1=ReW/(W+Z)+ReZ/(W+Z). Der Realteil einer komplexen Zahl ist kleiner/gleich des Betrages dieser komplexen Zahl. Daher sind die Realteile der beiden Brüche: ≤|W/(W+Z)|+|Z/(W+Z)|. Wir verwenden hier, wie bereits erwähnt, ReZ≤|Z|. Dafür möchte ich den Beweis erbringen. Wir schreiben zunächst Z auf als a+i×b, wobei a und b reelle Zahlen sind. Der Realteil von Z ist a. Der Betrag von Z ist definiert als die Wurzel aus a2+b2. a ist tatsächlich kleiner/gleich als der Betrag von Z, denn die Wurzel aus a2+b2 ist in jedem Fall größer/gleich als a selbst. Was resultiert aus der Monotonie der Wurzelfunktion und der Tatsache, dass der Betrag einer Zahl stets größer/gleich dieser Zahl selbst ist? Der Betrag eines Bruches ist gleich dem Quotienten aus dem Betrag des Zählers und dem Betrag des Nenners. Diese Rechenregel werden wir im Anschluss an den eigentlichen Beweis noch zu erbringen haben. Zunächst schreiben wir auf: |W|/|W+Z|+|Z|/|W+Z|. Der rechte Term ist gleich 1. Uns bleibt hier nur noch übrig, diese Gleichung mit |W+Z| zu multiplizieren und wir sind schon fast fertig. Bevor ich diesen vorläufig letzten Schritt tue, werde ich noch notieren, welche Gesetzmäßigkeit wir verwendet haben. Sind x und y Elemente der komplexen Zahlen, dann gilt: |x/y|=|x|/|y|. Jetzt vollziehe ich den vorläufig letzten Schritt. Wir hatten: 1≤|W|/|W+Z|+|Z|/|W+Z|. Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung mit dem positiven Wert |W+Z| multiplizieren, so erhalten wir: |W+Z|≤|W|+|Z|. Der Beweis der Dreiecksungleichung ist damit noch nicht erbracht, denn der Fall |W+Z|=0 konnte nicht berücksichtigt werden wegen der Benutzung im Nenner. Wir werden also diesen Fall durch einfaches Nachrechnen betrachten, für |W+Z|=0. Wir setzen ein: 0≤|W|+|Z|, was immer richtig ist. Damit ist der Beweis der Dreiecksungleichung erbracht. Um noch zu zeigen, dass hier alles seine Richtigkeit hat, müssen wir die Gleichung links unten beweisen. Ich bezeichne die Gleichung als 1 und vollziehe den Beweis dafür. Zunächst zeigen wir den Beweis für die Multiplikation komplexer Zahlen: |W×Z|=|W|×|Z|. Dafür führen wir den Begriff der komplex konjugierten Zahl ein. Wenn Z gleich a+i×b ist, dann ist die komplex konjugierte Z¯ (mit Strich oben) gleich a-i×b. Wir schauen nach links in die Mitte und sehen: Z×Z¯=a2+b2. Das ist gleich |Z|^2. Wir erhalten Gleichung 2. Rechnet das bitte einmal nach! Für W schreiben wir c+i×d, c und d sind Elemente der reellen Zahlen. W konjugiert ist demzufolge: c-i×d. Wir multiplizieren zunächst beide komplex Konjugierten von Z und W: Z¯×W¯=(a-i×b)×(c-i×d). Wir multiplizieren und erhalten (nächste Zeile): =ac-iad-ibc-bd. Wir fassen im Real- und Imaginärteil zusammen und erhalten Z¯×W¯=ac-bd-i(ad+bc). Jetzt berechnen wir Z×W, komplex konjugiert. Wir schreiben: (a+ib)×(c+id). Wir multiplizieren aus und fassen zusammen: ac-bd+i(ad+bc). Das wäre ohne komplexe Konjugation. Ich schreibe nun die Striche einfach darüber, das darf ich ja. Komplexe Konjugation bedeutet nur, dass sich das Vorzeichen im Imaginärteil umkehrt. Also erhalten wir in der letzten Zeile rechts unten: ac-bd-i(ad+bc). Was ist der gleiche Term, den wir auch erhalten haben, als wir die komplex Konjugierten von Z und W multipliziert haben? Das Resultat schreibe ich links mittig auf: Z¯×W¯=(Z×W)¯. Erinnern wir uns, was wir eigentlich als Zwischenschritt beweisen wollten. Es ist die Relation, die unterhalb des Wortes Dreiecksungleichung steht, nämlich |W×Z|=|W|×|Z|. Wir beginnen (darunter): |W×Z|^2 ist nach Gleichung 2 (wir schauen nach links mittig) (W×Z)×(W×Z)¯. Nach Gleichung 3 (links mittig, schaut hinüber) spalten wir nun das Produkt (W×Z)¯ in die Faktoren W¯×Z¯ auf. Wir erhalten: W×Z×W¯×Z¯. Nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation tauschen wir die beiden Faktoren in der Mitte aus und erhalten W×W¯×Z×Z¯. Wir schauen zur Gleichung 2 links mittig und sehen W×W¯ ist gerade |W|^2 und Z×Z¯ ist gerade |Z|^2. Wir haben nun eine Gleichung erhalten, die nur aus Quadraten von Beträgen besteht. Eine solche Gleichung lässt sich wunderbar durch Wurzelziehen auflösen. Diese Rechenoperation ist hier sogar äquivalent. Wir erhalten somit: |W×Z|=|W|×|Z| (rechts unten). Damit wurde der gewünschte Beweis erbracht. Nun haben wir alles, was wir brauchen, um die Richtigkeit der Gleichung 1 zu zeigen. Wir setzen nun in die Gleichung, die wir gerade bewiesen haben, für W=x und für Z=1/y. Wir schreiben: |x×1/y|=|x|×|1/y|. Wir schreiben weiter: |x|×1/|y|. Nächste Zeile: (|x|/1)×(1/|y|). Und das ist |x|/|y|. Damit wurde auch Gleichung 1 nachgewiesen und wir haben alles, was wir für die Dreiecksungleichung verwendet haben, gezeigt. Eine kleine Schlussbemerkung: Die von mir verwendete Beweismethode ist ungewöhnlich. Ich möchte sie vielleicht einmal als Krakenmethode bezeichnen, denn ich habe mir wie ein Krake alles, was ich benutze, mit meinen Fangarmen herangezogen. Dadurch wird die Methode etwas unübersichtlich. Aber ich habe gezeigt, dass alles, was ich verwendet habe, richtig ist. Ich danke für eure Aufmerksamkeit, wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!  

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6 Kommentare
  1. Default

    Sehr Hilfreich ...
    Ich mag deine Videos

    Von Unknown U., vor 7 Monaten
  2. 001

    Ich verstehe die Bemerkung nicht. Setzt man die Zahlen ein, so erhält man 5,1 = 5,1 oder 5,1 < 5,1. Das ist korrekt.
    A. O.

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Ganz am Anfang bei der Gleichung müsste es meiner Meinung nach "größer als" heißen, bei dem Beispiel mit der Rechnung mit den Betragsstrichen. Wenn man das mal an einen Beispiel ausprobiert, mit 3,7 und 1,4! Dann erhält man bei dem ersten 5,1 und bei dem zweiten nur 4.

    Von S Beutnagel, vor mehr als einem Jahr
  4. Giuliano test

    @Timart:
    Wir bauen gerade eine neue Lernnavigation in Mathematik und werden demnach die Video-Einordnung bearbeiten. Deswegen kann es noch vorkommen, dass manche Videos in unterschiedlichen Themenbereichen vorkommen. Vielen Dank für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Was hat das in der Kategorie "Verktoren" verloren?
    Ich versuche zum Thema Vektoren was zu lernen und bekomme dieses Video... Das passt nicht

    Von Timart, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    wieso geht das Video nie, wenn ich etwas lernen will!!!!

    Von Masters25s, vor mehr als 5 Jahren
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