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Transkript Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (1)

Hallo. Beim Rechnen ist dir bestimmt schon mal aufgefallen, dass verschiedene Rechnungen gleiche Ergebnisse haben können. Zum Beispiel können wir rechnen 17+4=21. Es ist aber auch 4+17=21. Deshalb kann ich hier ein Gleichheitszeichen hinschreiben, weil ja beides Mal das Gleiche rauskommt. Ich kann aber auch schreiben 23+35, das ist genauso groß wie 35+23. Jeweils kommt nämlich 58 heraus und deshalb sind diese beiden Summen gleich. Weil wir hier addieren, weil hier eine Strichrechnung steht, deshalb heißt das hier Summe, das heißt auch Summe. Beide Summen sind gleich. Hier sind die einzelnen Summanden. Was habe ich hier gemacht, um von dieser Summe zu dieser Summe zu kommen? Ich habe hier die Summanden vertauscht, hier habe ich auch die Summanden vertauscht und es ist jeweils das gleiche Ergebnis herausgekommen. Das könnte ich jetzt noch mit ganz vielen Zahlen machen und wir würden feststellen, dass jeweils das gleiche Ergebnis herauskommt. Das heißt, dass 2 Summen gleich sind, wenn man die beiden Summanden vertauscht. Solche Zusammenhänge, so etwas, was einem auffällt, das formuliert man in der Mathematik ganz genau, und zwar mit Formeln. Das ist eine Formel: a+b=b+a. Die heißt übrigens Kommutativgesetz, weil es ein ähnliches Wort im Lateinischen gibt, was Vertauschen bedeutet. Diese Formel formuliert also diesen Zusammenhang, dass wir die beiden Summanden einer Summe vertauschen können und jeweils das Gleiche herauskommt. Wie kannst du nun eine solche Formel anwenden? Das geht folgendermaßen: Du kannst einfach für diese beiden as hier, das ist der Buchstabe a und das auch, da kannst du eine Zahl einsetzen, zum Beispiel die 5, und für b jeweils auch die gleiche Zahl, und dann entsteht eine richtige Gleichung. Hier steht nämlich 5+4, das ist 9, und 4+5 ist auch 9, also ist das richtig. Du kannst für die Buchstaben auch andere Zahlen einsetzen und aus diesem Grund heißen die Variablen. Diese Buchstaben heißen Variablen, weil man unterschiedliche Zahlen einsetzen kann. Variabel heißt ja unterschiedlich und man kann hier unterschiedliche Zahlen einsetzen. Für die beiden a natürlich jeweils die gleiche Zahl. Gerade hatte ich für a was anderes eingesetzt, jetzt kommt eine andere unterschiedliche Zahl, die ich für das a einsetze. Für das b setze ich auch eine andere Zahl ein als vorhin. Es entsteht auch eine richtige Gleichung, nämlich 2+6, das ist 8, und 6+2 ist auch 8 und die Gleichung ist damit wieder richtig. Beide Summen haben das gleiche Ergebnis. In diese Formel kannst du alle möglichen Zahlen einsetzen und immer kommt das richtige Ergebnis raus. Woher weiß man das so genau? Zum einen hat man das mit vielen Zahlen ausprobiert. Das geht aber nicht mit allen Zahlen, weil es viel zu viele Zahlen gibt, als dass man das mit allen Zahlen ausprobieren könnte. Aber es gibt auch Möglichkeiten, sich das hier im Alltag vorzustellen. Du weißt ja, dass du dir das Rechnen, das Addieren, auch am Zahlenstrahl vorstellen kannst. Wenn du jetzt 2+6 dir vorstellen möchtest, am Zahlenstrahl, dann denkst du dir, stellst dir diesen Zahlenstrahl vor, du fängst von der 0 an, gehst 2 Schritte in Gedanken, oder auch mit dem Finger am Zahlenstrahl, und dann gehst du noch 6 Schritte und das kannst du auch ganz normal machen, beim Gehen, beim Laufen. Erst 2 Schritte gehen, dann noch mal 6 Schritte gehen und dann ist dir, glaub ich, klar, dass du die gleiche Distanz zurücklegst, wie wenn du erst 6 Schritte gehst und dann 2 Schritte. Jeweils kommst du genauso weit. Das bist zu so gewohnt, aus deinem Alltag. Das ist eine der Möglichkeiten, wie man sich vorstellen kann, warum diese Formel richtig ist. Denn, auch das kennst du an deinem Alltag, wenn du das mit anderen Schrittfolgen machst, wenn jetzt hier, zum Beispiel, die 35 stehen würde und da eine 23, auch dann wäre es richtig. Wenn du erst 35 Schritte gehst und dann 23 Schritte, dann kommst du genauso weit, wie wenn du erst 23 Schritte gehst und dann 35. Das bist du so gewohnt. Wie gesagt, das ist eine der Möglichkeiten, weshalb man auch von dieser Formel überzeugt sein kann. Es gibt noch viele, viele weitere Möglichkeiten, die ich jetzt nicht alle erzähle. Die kommen dann nach und nach, wenn du weitere Formeln besprichst. Hier möchte ich aber noch eine andere Formel vorstellen, nämlich diese hier. Die ist schon erheblich länger. Sie lautet: (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c. Diese Formel heißt Assoziativgesetz. Es gibt im Lateinischen ein Wort, das ähnlich klingt und das bedeutet "verbindend". Ich will gar nicht weiter darauf eingehen, warum das hier Assoziativgesetz heißt. Es heißt nun mal so, soll uns hier nicht weiter interessieren. Auch diese Formel kannst du verwenden, indem du für die Variablen, also für die Buchstaben, Zahlen einsetzt. Zum Beispiel könntest du für das a die 8 einsetzen. Dann musst du aber auch überall, wo ein a steht, eine 8 einsetzen. Du könntest für b die 9 einsetzen, auch jeweils für jedes b die 9. Dann hier noch die 1 für das c. Dann entsteht eine richtige Gleichung, die man nun folgendermaßen nachvollziehen kann. Ich nehme das mal eben vor hier. Also, wir haben hier eine Klammer stehen, das heißt, wir müssen zuerst rechnen 8+9 und das ist zusammen 17. Und dann rechnen wir 17+1 und das ist gleich 18. Ebenso gilt, wenn wir erst hier die Klammer ausrechnen, dann rechnen wir 9+1, das ist 10, und 8+10=18. Weil das richtig ist, deshalb hat man sich gesagt, OK, dann kann man auch gleich die Klammer weglassen. Wir rechnen einfach schlicht von links nach rechts 8+9+1 ist zusammen 18. Dann ist hier also die Gleichung richtig. Du kannst auch andere Zahlen einsetzen. Ich zeig das noch mal. Zum Beispiel könntest du auch für a 2 einsetzen, jeweils für a die 2, und für b die 3 und für c die 7. Auch das ist richtig, was hier steht. Immer wenn man Zahlen einsetzt in diese Formel, dann kommt eine richtige Gleichung heraus. Du kannst hier zunächst rechnen 2+5=5, 5+7=12 und ebenso ist richtig, wenn du zunächst 3+7 rechnest, das ist 10, und 2+10 das ist 12. Dann steht hier und hier das gleiche Ergebnis, deshalb ist das Gleichheitszeichen richtig. Dann kann man sich auch wieder vorstellen: Naja, dann können wir die Klammern einfach weglassen, wir rechnen einfach hintereinander 2+3+7, dann kommt auch 12 raus. Damit ist die Gleichung richtig. Was bringt so was? Ich habe extra hier so ein Beispiel genommen, was in der letzten Klammer hier eine glatte Zahl ergibt, nämlich die 10, also "glatte Zahl" in Anführungszeichen. Es bringt also Rechenvorteile, wenn man zum Beispiel erst die hinteren beiden Summanden addiert und dann den ersten Summanden zum Ergebnis dieser beiden hier dazuaddiert. Das kann durchaus Rechenvorteile geben und das ist einer der Gründe, warum es dieses Gesetz gibt, dieses Assoziativgesetz, diese Formel. Es gibt noch viele weitere Gründe, die ich jetzt auch nicht alle erzähle. Das kommt dann später nach und nach, wenn du mehr Formeln beherrschst. Warum können wir davon überzeugt sein, dass man hier alle möglichen Zahlen für a, b und c einsetzen kann? Auch das sind wir aus dem Alltag gewohnt. Das möchte ich mal mit dem Geld zeigen. Zum einen kann man das natürlich an vielen Zahlen nachrechnen und feststellen, das jeweils das Gleiche herauskommt. Wie schon gesagt, gibt es viel zu viele Zahlen, man kann das nicht mit allen testen. Aber es gibt so Veranschaulichungen, die uns dann doch dazu bewegen, zu sagen: Naja, das wird dann wohl für alle Zahlen richtig sein. Und zwar Folgendes: Ich habe hier 3 Geldhaufen. Ich könnte jetzt, wie das hier steht, erst diese beiden Haufen addieren. Ich mach das mal ein bisschen vorsichtig hier. Erst diese beiden Haufen addieren und dann den dritten Geldhaufen auch dazuzählen. Oder ich könnte zunächst die beiden hinteren Haufen hier zusammenfügen, zu einem, so, und dann den ersten Haufen auch noch dazupacken. Egal, wie ich das rechne, jeweils kommt gleich viel Geld heraus. Das wäre auch, wenn das anders wäre, wär komisch. Dann könnte man ja, sage ich mal, die verschiedenen Münzmengen hier auf unterschiedliche Arten zusammentun und dann hätte man vielleicht mehr Geld als vorher, oder so. Aber das funktioniert nicht. Zumindest müsste die Welt dann ganz anders aussehen oder würde sie ganz anders aussehen. Dann würde jeder sein Geld nehmen und anders zusammenlegen und hätte dann immer mehr Geld. Dann wären wir alle ganz super reich. Das funktioniert halt so nicht. Deshalb sind wir das auch so gewohnt. Egal, wie wir das Geld zusammentun, es bleibt immer die gleiche Geldmenge. Alles andere wäre schon ziemlich komisch. Ja, das sind deine ersten Formeln. Ich zeige noch mal die andere. Was bei diesen Formeln wichtig ist, ist, dass du wirklich hier nur für die Variablen, also für die Buchstaben, Zahlen einsetzen kannst. Dann erhältst du richtige Ergebnisse. Aber wenn du irgendwas veränderst, an den Formeln, wenn du etwas anders machst, dann stimmen sie in der Regel nicht. Dann entsteht nicht eine richtige Gleichung. Zum Beispiel kannst du hier nicht einfach ein Minuszeichen hinschreiben, oder da oder vielleicht einfach mal so irgendwelche Zahlen einsetzen. Sage ich mal, für a eben nicht immer die 9, sondern vielleicht auch mal eine andere Zahl, oder so. Das geht nicht. Dann kommt was anderes raus. Dann kommt was Falsches raus, meistens, oder kompletter Unsinn. Das wollen wir ja nicht. Auf der anderen Seite: Wenn du einmal weißt, wie diese Formel funktioniert, dann weißt du auch, dass sie für alle Zahlen auf der Welt gilt. Da kannst du immer sicher sein, dass eine richtige Gleichung herauskommt.  Dann viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.                                                                                                                                                       

Informationen zum Video
19 Kommentare
  1. Default

    ist super hilfreich

    Von Magnus R., vor 10 Tagen
  2. Default

    Wie funktzionirt das

    Von Deleted User 399345, vor 9 Monaten
  3. Default

    Super Video!!!
    Danke

    Von Kjell P., vor 9 Monaten
  4. Felix

    @Krkmva:
    Genau ... da hast du Recht. Wenn b ein Teiler von a ist, gibt es eine natürliche Zahl k mit a=b*k. Das heißt, dass a ein Vielfaches von b, nämlich das k-fache, ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Hallo, im Buch steht "Ist b ein Teiler von a, so ist b auch ein Vielfaches von a", aber das ist Quatsch, oder? Wenn die natürliche Zahl b ein Teiler der natürlichen Zahl a, dann ist a auch ein Vielfaches der Zahl b. Genau?

    Von Krkmva, vor mehr als einem Jahr
  1. Images

    Gut

    Von Jonas V., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    gutes Widio

    Von Brigitte Weishaeupl, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Sehr guuuuuuutttt!!!!!!!!!!!!!!! Und deine Videos sind klasse wie ändert man den Profil Bild

    Von Emdenmy999, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    02:28 bis 02:50 Genau wust ich gar nicht !

    Von Miniraakaslan, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Einfach & Perfeckt!

    Von Miniraakaslan, vor fast 2 Jahren
  6. Default

    Leonie hast auch kapiert hehe

    Von Danielbuecker, vor etwa 2 Jahren
  7. Default

    Das Video ist echt super.
    DANKE:-)

    Von Lojewski, vor mehr als 2 Jahren
  8. 74854523786

    super vido man checkt es sofort!;)

    Von Nabidahamna, vor mehr als 2 Jahren
  9. 2013 09 16 11.45.08

    Mhmm Ja das ist ein gutes Video

    Von Michelle Celine W., vor fast 3 Jahren
  10. Default

    gut ich weiß es schon!!!!!!!!!!!!!

    Von Top Model .., vor fast 3 Jahren
  11. Default

    was bedeuten die münzten im Hintergrund?

    Von Top Model .., vor fast 3 Jahren
  12. Default

    Ein Term sind eine oder mehrere Varablen ohne Istgleich. Eine Formel hat normalerweise immer ein Istgleich.

    Bsp. für Term:

    2a + 2x -3

    Bsp. für Formel:

    a² + b² = c ²

    Von Joy, vor mehr als 3 Jahren
  13. 74854523786

    Zwischen formeln und terme gehört noch ein und hab ich fergesen

    Von Nabidahamna, vor mehr als 3 Jahren
  14. 74854523786

    Was ist der unterschid von formeln terme?

    Von Nabidahamna, vor mehr als 3 Jahren
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