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Transkript Kombinatorik – Übungsaufgabe (4)

Hallo, es geht weiter um diese Tabelle hier. Da kann man sehen, wie viele Möglichkeiten bestimmte Zufallsversuche haben, und hier kommt jetzt eine Übungsaufgabe dazu. Wir haben 10000 Lose. Darunter sind 3 Hauptgewinne. Und die Frage ist erstens: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 3 gekauften Losen alle 3 Hauptgewinne zu ziehen. Zweite Frage ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 3 gekauften Losen genau einen Hauptgewinn zu ziehen. Und dritte Frage ist: Wie wahrscheinlich ist es, bei 5 gekauften Losen alle drei Hauptgewinne zu ziehen. Wir dürfen davon ausgehen, dass das Ziehen von Losen ein Laplace-Versuch ist, also alle Dreiermengen von Losen, die ich ziehen kann, sind gleich wahrscheinlich, ergibt sich aus diesem Versuchsaufbau. Da dürfen wir so von ausgehen. Das heißt, wir können also mit der Laplace-Regel die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses haben wollen, brauchen wir nur 1 geteilt durch Anzahl aller Möglichkeiten zu rechnen. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses haben wollen, brauchen wir nur Anzahl der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören, geteilt durch alle Ergebnisse rechnen und haben die Wahrscheinlichkeit. Wenn wir danach fragen, wie wahrscheinlich, dass wir alle 3 Hauptgewinne bei 3 Losen ziehen, naja, dann ist es nur ein einziges Ergebnis, nur eine Dreiermenge von Losen kommt hier infrage mit allen drei Hauptgewinnen. Das heißt, wir können einfach rechnen, 1 geteilt durch Anzahl aller Möglichkeiten und haben dann die Wahrscheinlichkeit für diese 3 Hauptgewinne. Wie viele Möglichkeiten gibt es denn nun, aus 10000 3 zu ziehen. Wir können unsere Tabelle verwenden und überlegen uns: Ist es Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? Nun, wenn ich jetzt ein Los ziehe und es wieder zurücklege, dann komme ich ja nicht weiter, das ist ja Quatsch. Also ist es Ziehen ohne Zurücklegen, erstens mal. Zweitens ist die Frage, ist es Ziehen mit oder ohne Reihenfolge? Also mir wäre es egal, in welcher Reihenfolge ich die 3 Hauptgewinne ziehe, Hauptsache ich habe sie. Das heißt, wir können hier davon ausgehen, es ist Ziehen ohne Reihenfolge. Also kommt dieser Teil der Tabelle hier zum Einsatz. n über k bedeutet, wir haben n Dinge, aus denen wir ziehen, wir ziehen k-mal und haben dann die Anzahl aller Möglichkeiten, die sich beim k-maligen Ziehen aus n Dingen ergeben. Wir müssen also rechnen, 1 geteilt durch 10000, das ist ja die Anzahl unserer Lose, über 3. Und das ist ungefähr im Ganzen hier 6,00180042 × 10-12, so ungefähr. Ja, damit ist diese Frage erst mal beantwortet. Nächste Frage war ja: Wie wahrscheinlich ist es, genau einen Hauptgewinn zu ziehen? Und da kann man sich Folgendes vorstellen. Wir haben ja, wenn wir jetzt dreimal ziehen, 3 Lose ziehen, dann haben wir die Möglichkeit, einen der 3 Hauptgewinne zu ziehen, also noch mal von vorne, warum mache ich das? Wir haben jetzt ein Ereignis definiert, das Ereignis, genau einen Hauptgewinn bei dreimaligen Ziehen. Ich möchte jetzt wissen, wie viele Ergebnisse gehören zu diesem Ereignis, weil ich die Laplace-Regel anwenden möchte. Es gibt schon mal 3 Möglichkeiten, einen Hauptgewinn zu ziehen, und für jeden Hauptgewinn, den ich gezogen habe, gibt es noch weitere Möglichkeiten, keine Hauptgewinne zu ziehen, nämlich zwei weitere Möglichkeiten. Wir haben 9997 Lose, die keine Hauptgewinne sind, und aus denen muss ich auch noch 2 ziehen. Alle diese Möglichkeiten gehören zu dem Ereignis, genau einen Hauptgewinn. Das muss ich jetzt teilen durch die Anzahl aller Möglichkeiten, die ist nach wie vor 10000 über 3. Und wenn man das ausrechnet, kommt da eine ungefähr lustige Zahl raus und die ist dann 1 geteilt durch 1111. Das ist die Wahrscheinlichkeit hier. Dann interessiert uns noch: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei 5 gekauften Losen 3 Hauptgewinne zu erzielen. Auch hier müssen wir wieder rechnen, wie viele Möglichkeiten gehören zu dem Ereignis 3 Hauptgewinne bei 5 Losen. Und  wie viel Möglichkeiten gib es insgesamt. Es gibt 3 über 3 Möglichkeiten, aus 3 Hauptgewinnen 3 zu ziehen, also eine Möglichkeit, daran sieht man auch wieder, 3 über 3 ist 1. Dann haben wir noch 9997 Lose, die keine Gewinne sind, und davon ziehen wir noch zwei, und müssen das jetzt teilen durch die Anzahl aller Möglichkeiten, in dem Fall also 10000 über 5, und das ist ungefähr 6,00180042 mal 10^-, da denkst du, das ist die Zahl von vorhin, ist sie aber nicht, × 10-11. Ich hoffe, ich habe die Nachkommastellen da alle vernünftig hingeschrieben, ja, ich glaube schon. Das heißt, hier kommen wir jetzt auf die zehnfache Wahrscheinlichkeit von dieser Zahl hier. Ja, das ist also die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 Hauptgewinnen bei 5 Losen. Das war's, viel Spaß damit. Tschüss.

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